¿Por qué se utiliza siempre una prueba unilateral cuando una distribución muestral es normal?

Question

Si he entendido bien, se puede suponer que las distribuciones muestrales de las medias o de las proporciones se distribuyen normalmente si se cumplen determinadas condiciones. Sin embargo, si también entiendo correctamente las pruebas de hipótesis básicas, una prueba z de una proporción permite plantear una hipótesis alternativa unilateral, por ejemplo:

• $H_0: p \le 0.5$
• $H_A: p > 0.5$

Esto me sugiere que no consideraríamos un valor superior a $3\, \text{SDs}$ debajo de $p$ sea sorprendente, sin embargo eso parece contradecir la propia definición de una distribución normal.

Supongo que esto no importa si el valor crítico se calcula de la misma manera independientemente de si se está haciendo una prueba unilateral o bilateral en tal escenario, pero si estoy entendiendo correctamente, el valor crítico para el mismo nivel de confianza sale a un valor diferente con cada tipo de prueba.

Debo estar malinterpretando alguna parte de esto, de lo contrario no entiendo por qué se permite una prueba unilateral para una distribución normal.

EDITAR:

Quizá no esté formulando esta pregunta de forma comprensible. Seguro que a estas alturas tengo un vocabulario impreciso, así que voy a intentar utilizar una imagen:

A lo que quiero llegar es que se supone que una distribución muestral de proporciones se distribuye normalmente según el teorema del límite central, pero, para mí, una prueba z de una cola parece implicar que se distribuye como se muestra en la figura inferior, porque un valor de -1,96 o inferior no se considera inesperado dada la hipótesis nula al realizar una prueba z de una cola para una distribución muestral de proporciones. Debo de estar entendiendo mal alguna parte de esto, pero por muchas descripciones que lea o vídeos que vea o preguntas aclaratorias que haga, no consigo identificar por qué una prueba z de una cola para una distribución muestral de proporciones se sigue dibujando como una distribución normal. Para mí, dibujarla como una distribución normal sólo tendría sentido si mantuviéramos el valor crítico en 1,96 y simplemente ignoráramos los resultados inferiores a -1,96, sin dejar de mantener que son inesperados, es decir, cortando la cifra superior por la mitad.

Answer 1

Muchas gracias joshisanonymous por hacer esta pregunta. Creo que es una pregunta muy buena y yo también me la estaba planteando. Personalmente, me cuesta entender la estadística desde el punto de vista conceptual, y a menudo también me resulta difícil encontrar respuestas satisfactorias en Internet. Por eso suelo inventarme las respuestas yo mismo... Así que ten en cuenta que no soy un experto.

Al contrario que Peter yo sí creo que la forma de la distribución de lo que estás probando tiene mucho que ver con tu prueba e hipótesis, no importa si es unilateral o no. En mi opinión, la idea de una prueba consiste en suponer una determinada distribución subyacente y calcular la probabilidad de que los datos de la muestra se ajusten a esa suposición.

Mi conclusión: Creo que una diferencia entre una prueba unilateral y una prueba bilateral es que la probabilidad de cometer un error de tipo 1 en una prueba unilateral es como máximo alfa, ya que en este caso se tiene en cuenta el conjunto de todas las distribuciones (de una forma determinada) con media menor o igual a 0,5, mientras que la probabilidad de acabar en las colas para una prueba a dos caras es alfa, ya que sólo se mira una distribución.

Abajo miro la distribución muestral de la media, pero no escalé la distribución a distribución t o normal estándar como hiciste en tu imagen. ¡Espero que te sirva de ayuda!