¿Por qué se utiliza siempre una prueba unilateral cuando una distribución muestral es normal?

Question

Si he entendido bien, se puede suponer que las distribuciones muestrales de las medias o de las proporciones se distribuyen normalmente si se cumplen determinadas condiciones. Sin embargo, si también entiendo correctamente las pruebas de hipótesis básicas, una prueba z de una proporción permite plantear una hipótesis alternativa unilateral, por ejemplo:

• $H_0: p \le 0.5$
• $H_A: p > 0.5$

Esto me sugiere que no consideraríamos un valor superior a $3\, \text{SDs}$ debajo de $p$ sea sorprendente, sin embargo eso parece contradecir la propia definición de una distribución normal.

Supongo que esto no importa si el valor crítico se calcula de la misma manera independientemente de si se está haciendo una prueba unilateral o bilateral en tal escenario, pero si estoy entendiendo correctamente, el valor crítico para el mismo nivel de confianza sale a un valor diferente con cada tipo de prueba.

Debo estar malinterpretando alguna parte de esto, de lo contrario no entiendo por qué se permite una prueba unilateral para una distribución normal.

EDITAR:

Quizá no esté formulando esta pregunta de forma comprensible. Seguro que a estas alturas tengo un vocabulario impreciso, así que voy a intentar utilizar una imagen:

A lo que quiero llegar es que se supone que una distribución muestral de proporciones se distribuye normalmente según el teorema del límite central, pero, para mí, una prueba z de una cola parece implicar que se distribuye como se muestra en la figura inferior, porque un valor de -1,96 o inferior no se considera inesperado dada la hipótesis nula al realizar una prueba z de una cola para una distribución muestral de proporciones. Debo de estar entendiendo mal alguna parte de esto, pero por muchas descripciones que lea o vídeos que vea o preguntas aclaratorias que haga, no consigo identificar por qué una prueba z de una cola para una distribución muestral de proporciones se sigue dibujando como una distribución normal. Para mí, dibujarla como una distribución normal sólo tendría sentido si mantuviéramos el valor crítico en 1,96 y simplemente ignoráramos los resultados inferiores a -1,96, sin dejar de mantener que son inesperados, es decir, cortando la cifra superior por la mitad.

Answer 1

Se utiliza una prueba unilateral cuando se tiene una hipótesis unilateral. La forma de la distribución de lo que sea que estés probando no tiene nada que ver con ello. Usted escribió:

Esto me sugiere que no consideraríamos un valor superior a 3SDs por debajo de p para ser sorprendente,

pero los valores p no se refieren a lo "sorprendente", sino a la significación estadística. Podría ser completamente esperable tener un valor p muy bajo. Significación estadística significa que, si en la población de la que se extrajo aleatoriamente la muestra la hipótesis nula fuera cierta, sería improbable obtener una estadística de prueba al menos tan extrema como la obtenida en una muestra del tamaño de la que tenemos.

Como ejemplo de un caso en el que queremos una prueba unilateral para una proporción, supongamos que sospechamos que una moneda está ponderada a favor de cara. Entonces podríamos probar si la proporción de caras es > 0,5.

Answer 2

Las pruebas de equivalencia pueden ser un propósito superútil para las pruebas unilaterales

Si quieres aportar pruebas de que dos cantidades son equivalente y no una prueba de que dos cantidades son diferente puede utilizar la función enfoque de dos pruebas unilaterales (TOST):

$H^{-}_{0}: |\mu_{1}-\mu_{2}|\ge \Delta$
$H^{-}_{A}: |\mu_{1}-\mu_{2}|< \Delta$

Esta es la forma general de la hipótesis nula TOST (donde $\Delta$ es una elección del investigador que significa "la diferencia más pequeña entre dos cantidades que me importan"), que se traduce en dos nulos unilaterales específicos:

$H^{-}_{01}: \mu_{1}-\mu_{2}\ge \Delta$
$H^{-}_{A1}: \mu_{1}-\mu_{2}< \Delta;$

o

$H^{-}_{02}: \mu_{1}-\mu_{2}\le -\Delta$
$H^{-}_{A2}: \mu_{1}-\mu_{2}> -\Delta;$

Si rechaza $H^{-}_{01}$ entonces deduce que $\mu_{1}-\mu_{2}$ debe ser inferior a $\Delta$ . Si rechaza $H^{-}_{02}$ entonces deduce que $\mu_{1}-\mu_{2}$ debe ser mayor que $-\Delta$ . Si su rechazo ambos $H^{-}_{01}$ y $H^{-}_{02}$ entonces debes concluir que $-\Delta < \mu_{1}-\mu_{2} < \Delta$ o, en lenguaje llano, que las dos cantidades son equivalentes con el intervalo $\pm\Delta$ .

No inferioridad y las pruebas de no superioridad son otro propósito superútil para las pruebas unilaterales: Si está introduciendo un medicamento en el mercado, como productor no querrá demostrar a los reguladores que su medicamento es mejor que los fármacos existentes (¿por qué habría de exigírsele un nivel diferente?), sino que su fármaco rinde no peor que los mejores medicamentos existentes, dentro de un margen de pertinencia. Las hipótesis nula y alternativa de no inferioridad emplean pruebas unilaterales:

$H_{0}: \mu_{1} \le \mu_{0} -\Delta$
$H_{A}: \mu_{1} > \mu_{0} -\Delta$

La prueba de no superioridad simplemente invierte estas relaciones:

$H_{0}: \mu_{1} \ge \mu_{0} +\Delta$
$H_{A}: \mu_{1} < \mu_{0} +\Delta$

Un breve examen revelará que la hipótesis alternativa de la prueba de equivalencia es la intersección de las hipótesis alternativas de no inferioridad y no superioridad

Answer 3

Para completar la excelente respuesta de Peter, la formulación de la hipótesis alternativa depende de la pregunta de investigación.

Por ejemplo, si p denota la proporción de personas en California que ven la televisión por la noche, podría establecer una hipótesis alternativa direccional como Ha: p > 0,5 o Ha: p < 0,5 dependiendo de si espera que esa proporción sea mayor que 0,5 o menor que 0,5. Si no tiene esa expectativa (es decir, cree que la proporción podría ser en principio menor que 0,5 o mayor que 0,5), establecería una hipótesis alternativa no direccional como Ha: p > 0,5 o Ha: p < 0,5. Si no tiene esa expectativa (es decir, cree que la proporción podría ser en principio menor que 0,5 o mayor que 0,5), establecería una hipótesis alternativa no direccional como Ha: p != 0,5, donde != significa "no igual a".

Una vez que se conoce la hipótesis alternativa que se desea comprobar, es fácil deducir la hipótesis nula Ho. Para Ha: p > 0,5, la hipótesis nula puede establecerse como Ho: p <= 0,5, de modo que Ho y Ha son mutuamente exhaustivas, etc.

Una vez establecidas las hipótesis, se puede evaluar el valor observado del estadístico de prueba a partir de los datos. Este valor observado se utilizará entonces junto con la información sobre:

(1) la distribución muestral del estadístico de la prueba cuando se supone que Ho es cierta y

(2) la hipótesis alternativa

para obtener un valor p asociado a la prueba Ho contra Ha.

Para los tres tipos de hipótesis alternativas anteriores, el valor observado de la estadística de prueba y la forma de la distribución muestral serán iguales. Pero como las hipótesis alternativas son diferentes, los valores p correspondientes serán diferentes. Por lo tanto, la naturaleza de la hipótesis alternativa determina el tipo de valor p que se obtendrá.

Answer 4

La imagen adjunta puede ayudar. Si buscamos pruebas contra la hipótesis nula H0: p <= 0,5 al contrastarla con la hipótesis alternativa Ha: p > 0,5, tiene sentido calcular el valor p mirando por debajo de la cola derecha de la distribución muestral de la estadística de la prueba (que se obtuvo bajo el supuesto de que H0 es cierta). Esa cola engloba los resultados de nuestra prueba que serían muy improbables si la hipótesis nula fuera realmente cierta. De hecho, si la hipótesis nula fuera cierta, no esperaríamos valores muy positivos para el estadístico de la prueba. Por lo tanto, si encontramos un valor altamente positivo para el estadístico de prueba observado, sospechamos que nuestra hipótesis de que H0 es verdadera es probablemente infundada (es decir, no apoyada por los datos).

Creo que algunas de las preguntas del hilo de comentarios deben formularse con más claridad para recibir respuestas adecuadas. Quizá sería mejor iniciar un nuevo hilo con preguntas más claras en lugar de eternizar los comentarios.

Answer 5

Por fin he descubierto por qué una prueba de una cola no contradice las probabilidades que implica una distribución normal: porque un $\alpha$ de 0,05 para una prueba de una cola equivale a un $\alpha$ de 0,10 para una prueba de dos colas si ignoráramos un lado de la distribución en esta última, y puesto que estamos ignorando un lado u otro de la distribución en una prueba de una cola, sigue teniendo sentido hablar de un valor P > 0,05 o < 0,05 porque sólo se espera que el 5% de las muestras tomadas de esa población caigan en esa región de la distribución.

Todavía no estoy seguro de por qué una prueba de dos colas con un mayor $\alpha$ pero esa es otra cuestión que supongo que tiene que ver con cuestiones logísticas (por ejemplo, la muestra no tiene que ser tan grande para una prueba de una cola).

(Esta discusión es lo que me ayudó a comprender la parte del rompecabezas que me faltaba: http://spssx-discussion.1045642.n5.nabble.com/1-tailed-test-and-alpha-td1071625.html )