No estoy seguro de entender del todo la pregunta, pero responderé lo que yo piense en estás preguntando. Si te he entendido mal, no dudes en mencionarlo en los comentarios, e intentaré editar mi respuesta en consecuencia. Dicho esto, vayamos a la respuesta
Se ha convertido en norma en ciertas partes de las matemáticas hacer hincapié en la relaciones entre objetos y no a los objetos en sí. En el mundo de la teoría de grupos, esto significa que queremos entender los homomorfismos de grupo, y a través de la comprensión de los homomorfismos, podemos entender los grupos. Esta mentalidad procede del mundo de la Categoría Teoría de la que no hablaré en esta respuesta, pero que le recomiendo que investigue si esta respuesta le intriga.
Con este marco en mente, no basta con dar un medio para construir un nuevo grupo a partir de grupos antiguos. También debemos esforzarnos por comprender los homomorfismos dentro y fuera de esta construcción. Una de esas construcciones, que usted ha mencionado, es el Producto de grupos.
Si tenemos un producto de grupos $G = G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_n$ entonces, nos gustaría entender cuáles son los homomorfismos que entran y salen de $G$ parecen.
Empecemos por los homomorfismos en $G$ . Es decir, dado un grupo $H$ queremos entender los homomorfismos $\varphi : H \to G$ . Bien, $G$ se construye a partir de grupos más pequeños, $G_i$ . Tal vez haya alguna forma de entender los homomorfismos en $G$ estudiando los homomorfismos en cada $G_i$ .
Si $\varphi : H \to G$ entonces tenemos una familia $\varphi_i : H \to G_i$ donde definimos $$\varphi_i = \pi_i \circ \varphi$$ para cada $i$ .
Toma, $\pi_i : G \to G_i$ obtiene el $i$ ª componente de $G$ . Es decir, $$\pi_i((g_1, \cdots, g_n)) = g_i.$$
Siguiendo nuestra nariz, podemos preguntarnos si esto es suficiente . Es decir, dada una familia de funciones $\varphi_i : H \to G_i$ ¿podemos definir una nueva función $\varphi : H \to G$ ?
En efecto, la respuesta es sí ¡! Definamos $\varphi(h) = (\varphi_1(h), \varphi_2(h), \ldots, \varphi_n(h))$ . Te dejo que compruebes que se trata de un homomorfismo.
Estos dos datos, tomados en conjunto, nos dicen que la información contenida en un homomorfismo $\varphi : H \to G$ es exactamente igual a la información contenida en una familia de funciones $\varphi_i : H \to G_i$ .
Podemos resumir esta información en la siguiente imagen, de donde proceden los "triángulos" de su pregunta:
![product diagram]()
Los matemáticos utilizan diagramas como éste para codificar de forma compacta mucha información sobre un objeto. A menudo pedimos que estos diagramas "conmuten", lo que significa que cualquier camino del punto A al punto B corresponda al mismo homomorfismo.
El diagrama anterior conmuta si cada uno de los triángulos definidos por $\varphi$ , $\pi_i$ y $\varphi_i$ desplazamientos. Que significa que necesitamos $\varphi_i = \pi_i \circ \varphi$ .
Así que este diagrama, correctamente interpretado, nos dice que los homomorfismos en el producto $G$ corresponden exactamente a familias de homomorfismos en cada $G_i$ .
De hecho, dependiendo de su disposición, podría defina el producto $G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_n$ es el único grupo (hasta isomorfismo) que tiene la propiedad anterior. Te dejo a ti la tarea de comprobar que cualquier grupo con esta propiedad es realmente isomorfo al producto directo tal como lo has visto definido.
Por eso el argumento del "triángulo" es tan común en matemáticas. A menudo no nos importa cómo se "implementa" un objeto: sólo nos importa cómo podemos utilice eso. Y sabemos cómo utilizar un objeto exactamente cuando sabemos cómo definir funciones dentro y fuera de él. Hay muchas muchos objetos matemáticos que pueden definirse exclusivamente a partir de estos "triángulos", que se denominan "diagramas" (porque a menudo son más complejos que simples triángulos). La teoría de categorías consiste, en parte, en estudiar exactamente qué objetos puede y por qué.
Ahora que he terminado de predicar, podemos volver nuestra atención a los homomorfismos fuera del producto. Esta es la dirección que usted pedía explícitamente en su pregunta.
Digamos que tenemos un homomorfismo $\varphi : G \to H$ . Entonces, como antes, queremos relacionar $\varphi$ a homomorfismos que tienen que ver con cada $G_i$ maquillaje $G$ . Ahora utilizamos el hecho de que cada $G_i$ tiene un homomorfismo natural en $G$ :
Defina $\iota_i : G_i \to G$ por $$\iota_i(g_i) = (e_1, \ldots, e_{i-1}, g_i, e_{i+1}, \ldots, e_n)$$ donde cada $e_k$ es el elemento de identidad de $G_k$ .
Pero ahora $\varphi \circ \iota_i : G_i \to H$ es un homomorfismo, por lo que de nuevo tienen una familia de homomorfismos de $G_i \to H$ asociado a cada homomorfismo de $G \to H$ .
¿Pero podemos ir en la otra dirección? Si tenemos una familia de homomorfismos $\varphi_i : G_i \to H$ ¿existe una buena manera de definir $\varphi : G \to H$ ?
Después de pensarlo un poco, se podría intentar $$ \varphi((g_1,g_2,\cdots,g_n)) = \varphi_1(g_1) \cdot \varphi_2(g_2) \cdots \cdot \varphi_n(g_n) $$
¡Esto casi funciona! De hecho, si $H$ es abeliano, entonces este hace trabajo. Te animo a que lo pruebes, si quieres.
Por desgracia, no funciona del todo bien. La razón es sencilla: En $G$ tenemos información adicional sobre cómo $\iota_i G_i$ y $\iota_j G_j$ interactuar, y tenemos que asegurarnos de que incluimos esa información en el informe familiar. $\varphi_i$ ¡!
De hecho, en $G$ , $\iota_i(g_i) \iota_j(g_j) = \iota_j(g_j) \iota_i(g_i)$ . Esto no dice nada más que (en el $n=2$ caso, por ejemplo) $$(g_1, e_2) \cdot (e_1, g_2) = (g_1, g_2) = (e_1, g_2) \cdot (g_1, e_2)$$
Por ello, cualquier $(\varphi \circ \iota_i)(g_i)$ deben conmutar (en $H$ ) con cualquier $(\varphi \circ \iota_j)(g_j)$ . Es precisamente esta estructura de primas la que debemos tener en cuenta.
Digamos que tenemos homomorfismos $\varphi_i : G_i \to H$ de forma que cada $\varphi_i(g_i)$ conmuta con cada $\varphi_j(g_j)$ . Entonces podemos definir $$ \varphi((g_1,g_2,\cdots,g_n)) = \varphi_1(g_1) \cdot \varphi_2(g_2) \cdots \cdot \varphi_n(g_n) $$ y con la información adicional sobre la conmutatividad, este es un homomorfismo $G \to H$ .
Te animo a que dibujes aquí un diagrama que codifique la información relevante para los homomorfismos fuera de $G$ . Recuerda que este diagrama sólo funciona cuando todas las formas de rodear los triángulos son conmutables. Convéncete de que si exiges que todos estos triángulos conmuten se garantizará que $\varphi_i(g_i)$ y $\varphi_j(g_j)$ conmutar en $H$ .
Como apunte, cabe preguntarse si existe un grupo diferente $G'$ tal que los homomorfismos fuera de $G'$ se caracterizan por familias de homomorfismos a partir de cada $G_i$ sin la información adicional que necesitábamos antes. Efectivamente, tal grupo existe y llamaba al producto gratuito o el coproducto de la $G_i$ .
Espero que esto ayude ^_^
