En $a\neq b$ $a,b\in\mathbb{R}$ encontrar el mínimo de $\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{|a-b|}{2}\sqrt{1+(a+b)^2}$
Creo que la respuesta es $-\frac{1}{4}$ pero no estoy seguro. Por favor, díganme una solución.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Dado que el intercambio $a$ y $b$ no cambia el valor de la expresión, limitémonos únicamente a las soluciones en las que $a\geq b$ . Esto nos permite reescribir $|a-b|$ como $a-b$ lo que hace que nuestra expresión sea mucho más fácil de tratar.
Sea $c=\frac{a+b}{2}$ y $d=\frac{a-b}{2}$ . Entonces $c$ puede ser cualquier número real, y $d$ puede ser cualquier real no negativo. Escrito en términos de $c$ y $d$ nuestra expresión se convierte en:
$c^2 + d^2 - d\sqrt{4c^2+1}$
Diferenciando con respecto a $d$ da $2d - \sqrt{4c^2+1}$ . Es cero cuando $d = \sqrt{c^2 + 1/4}$ lo que significa que este valor de $d$ minimiza la expresión.
Si introduce este valor de $d$ en la expresión, el $c$ y la expresión alcanza su valor mínimo de $-1/4$ como sugeriste.
Si tiene un valor determinado para $a$ y desea un valor correspondiente de $b$ que alcance este mínimo, recuerde que $a=c+d$ y $d = \sqrt{c^2 + 1/4}$ . Resolviendo esto se obtiene $c=\frac{a}{2}-\frac{1}{8a}$ y $d=\frac{a}{2}+\frac{1}{8a}$ . Obtenemos $b=c-d =-\frac{1}{4a}$ . Esto sólo funciona si este valor de $b$ es menor o igual que $a$ que vemos que es sólo cuando $a>0$ .
