¿Cómo verifico el teorema de la divergencia para una superficie esférica?

Question

La superficie está limitada por $x^2+y^2+z^2 < 4$, $z > 0$. Puedo resolver el problema usando el Teorema de la Divergencia, pero quiero verificar mi resultado evaluando la integral de superficie dada por . ¿Podrías ayudarme a descubrir el término dS?

Answer 1

Para alguna superficie parametrizada $\Sigma = \textbf{x}(u,v)$ donde $u$ y $v$ varían en algún $T \subseteq \mathbb{R}^2$, tenemos

$$\iint_\Sigma \textbf{f}(\textbf{x}) \ \cdot dS = \iint_{T} \textbf{f}(\textbf{x}(u, v)) \cdot \left(\frac{\partial \textbf{x}}{\partial u} \times \frac{\partial\textbf{x}}{\partial v}\right) \ \text{d}u \ \text{d}v $$

En particular, usando coordenadas esféricas puedes evaluar la superficie de tu integral sobre la esfera y usando coordenadas polares el círculo, ambos con parametrizaciones sencillas. Desde aquí, los límites son bastante simples y los términos de $dS$ son simplemente cálculos.