Laurent de la serie, estoy en lo correcto en este razonamiento?

Question

Un problema en mi libro le pregunta:

En el de la serie de Laurent de $\displaystyle f(z) = \frac{1}{(z-4)}$ centrada en$z=1$, ¿cuál es el coeficiente de $(z-1)^{-2}$?

El libro de la solución da

$$\frac{1}{4-z} = \frac{1}{z-1-3} = \frac{\frac{1}{z-1}}{(1-\frac{3}{(z-1)})} = \frac{1}{z-1} \sum_{n=0}^\infty (\frac{3}{z-1})^n,$$

así que el cofficient se $3$.

Sin embargo, no creo que esto es correcto (no sé variables complejas que bien, así que estoy atreven a decir que el libro es malo). En primer lugar, $f(z)$ es analítica en $z=1$, por lo que no deberíamos obtener un único poder de expansión de la serie acerca de la $1$, y por lo tanto no hay coeficientes negativos?

Segundo, no estoy seguro de su expansión de $\displaystyle 1/(1-\frac{3}{(z-1)})$ es válido cerca de $1$, ya que el $\displaystyle |\frac{3}{(z-1)}|$ es de no menos de $1$ $z$ cerca de $1$.

¿Alguien puede confirmar mi razonamiento, o explicar por qué está mal?

La forma en que hice este problema fue:

$$\frac{1}{z-4} = \frac{1}{(z-1)-3} = \frac{-1}{3-(z-1)} = \frac{-1/3}{1-(z-1)/3}$$

y así obtenemos

$$f(z) = -\frac{1}{3} \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z-1}{3}\right)^n$$

Answer 1

Está a la derecha y el libro que está mal, o peor que eso, es deliberadamente que una trampa para el estudiante. Aquí es por qué.

Si quieres estudiar una función de meromorphic $f$ cerca de $z=z_0$, que a menudo utilizan sus canónica de desarrollo $f(z)= \sum a_n(z-z_0)^n$ en una de la serie de Laurent en $z_0$, con sólo un número finito de negativo $n$ que $a_n\neq 0$. Esto le dirá las cosas más importantes sobre el germen de $f$ , es decir, si la singularidad en $z=z_0$ es extraíble ($\iff a_n=0 \text { for n}\lt 0$) y más el valor de sus residuos en $z_0$, es decir,$a_{-1}$ .
A partir de la "solución" en su texto a la conclusión (como se hizo correctamente ) que $f$ tiene una singularidad esencial y que el residuo es $1$, los cuales son tanto ridículo.

Ahora es cierto que si se arregla un anillo $A=Ann (z_0; r,R)$ $z_0$ y considerar la posibilidad de un holomorphic finction $f\in \mathcal O(A)$$A$, usted va a obtener a partir de estos datos de la serie de Laurent $L(f;A)=\sum \limits_ {n=-\infty}^{\infty} a_n(z-z_0)^n$, donde la igualdad es en el sentido de pacto (e incluso normal) la convergencia en $A$.
Pero, a continuación, usted debe decir de antemano lo que el anillo $A$ es. La "solución", en el libro sólo sería correcta si usted llevó a $A=Ann (1; r,R)$ $3\lt r \lt R$ que es artificial y lo más importante debe ser que se indique explícitamente en la pregunta.

Por cierto, yo sinceramente felicito por su lectura crítica del libro y la exactitud de sus observaciones y objeciones : esta es exactamente la forma correcta para el estudio de las matemáticas.

Answer 2

Él dijo: "centrado en 1"; no dice "cerca de la 1". Hay una Laurent de la serie, centrada en la 1, válido en $|z-1|<3$. Pero hay un cuarto de Laurent de la serie, centrada en la 1, válido en $|z-1|>3$. El primero de estos, es, de hecho, una serie de Taylor. Pero el segundo de ellos es el que en el libro de la solución.