Demuestre que la ecuación $xax=b$ tiene solución para $x$ en $G$ si $ab$ es el cuadrado de algún elemento de G

Question

Demuestre que la ecuación $xax=b$ tiene solución para $x$ en un grupo $G$ si $ab$ es el cuadrado de algún elemento de G.

Necesito algunos consejos. No se me ocurre por dónde empezar.

Answer 1

Escriba a $a$ en términos de $x$ y $b$ . A continuación, calcule $ab$ .

Después de probarlo, vea el spoiler a continuación.

$xax=b$ si $ax=x^{-1}b$ si $a=x^{-1}bx^{-1}$ si $ab=x^{-1}bx^{-1}b=(x^{-1}b)^2$

Por el contrario, si $ab=y^2$ entonces puede encontrar $x$ tal que $xax=b$ :

A partir del cálculo anterior, intentamos $y=x^{-1}b$ Eso es, $x=by^{-1}$ . Entonces $xax=by^{-1}aby^{-1}=b^{-1}y^2y^{-1}=b$ .