Demuestre que el subespacio A es todo el espacio de Hilbert H

Question

"Let $A$ sea un subconjunto en un espacio de Hilbert $H$ tal que $x\in H$ y $x \perp A$ implica $x = 0$ .

(1) Demuestre que el subespacio cerrado generado por $A$ es $H$ .

(2) Sea $f(x)$ sea una función cuadrada sumable en $\Bbb R$ tal que su transformada de Fourier es casi siempre (estrictamente) positiva. Sea $B$ sea el conjunto de todas las funciones de la forma $f(x+a)$ con $a\in R$ arbitraria. Demostrar que el subespacio cerrado generado por $B$ es todo el $L^2(\Bbb R)$ ."

(1) parece trivial, pero no estoy seguro de cómo formular, tal vez algo como esto: desde x A => x = 0 que dice que el único vector a A en H es el vector nulo => ... => cada vector i H se puede describir con vectores en A.. algo.. algo...

Al intentar hacer (2) obtuve una pista: aplicar el resultado anterior (1) al conjunto A dado por la transformada de Fourier del conjunto B.

Atentamente Ingvar

Answer 1

Para 1., se puede utilizar la proyección sobre el cierre del subespacio generado por $A$ .

Para 2., podemos usar el resultado de 1.. Sea $f$ sea una función cuadrada integrable cuya transformada de Fourier sea positiva en casi todas partes. Sea $g\in L^2$ sea ortogonal a $f(\cdot +a)=:\tau_a(f)$ para todo número real $a$ . Entonces, utilizando la fórmula de Plancherel, obtenemos $$\int_{\Bbb R}\widehat f(x)\widehat{\tau_ag}(x)dx=0.$$ Desde $\widehat{\tau_ag}(x)=e^{iax}\widehat g(x)$ obtenemos que para cada $a$ , $$\int_{\Bbb R}\widehat f(x)\widehat{g}(x)e^{iax}dx=0,$$ por tanto la transformada de Fourier de la función integrable $\widehat f\widehat g$ desaparece en todas partes. Esto demuestra que $\widehat f\widehat g=0$ y la hipótesis de la transformada de Fourier de $f$ da $\widehat g=0$ . Concluya.