Trazado de la gráfica de una función trigonométrica

Question

¿Cómo esbozaría la siguiente función?

$f(x)=\cos(x)+\sin(x)$ en $[0,2\pi]$

para mi primera derivada obtuve

$f'(x)=-\sin(x)+\cos(x)=0$

pero ¿Cómo puedo encontrar los puntos críticos Quiero decir que sé $\cos^{-1}=0$ puede ser de 90 o 270 grados, pero no estoy seguro de que esto sea correcto.

La segunda derivada es

$f''(x)=-\cos(x)-\sin(x)$

Pero cómo encontraría el punto de inflexión si pongo la función a cero.

Answer 1

Hay una forma mucho más sencilla de trazar una curva de este tipo.

Mi afirmación es que podemos escribir $\cos x + \sin x$ como $\sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ .

El gráfico es una curva coseno desplazada, que se mueve entre $-\sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$ . El desplazamiento es hacia la derecha por $\frac{\pi}{4}$ .

El objetivo es escribirlo de la forma $R\cos(x - \alpha)$ para $R$ y $\alpha$ . Primero aplica la fórmula:

$$R\cos(x-\alpha) \equiv R\cos x \cos \alpha + R \sin x \sin \alpha$$

Queremos $\cos x + \sin x \equiv R\cos(x-\alpha)$ por lo que necesitamos encontrar un $R$ y un $\alpha$ para lo cual $R\cos\alpha = 1$ y $R\sin\alpha = 1$ . Podemos encontrar $R$ y $\alpha$ utilizando el Teorema de Pitágoras y algo de trigonometría. Primero, divide ambos términos:

$$\frac{R\sin\alpha}{R\cos\alpha} \equiv \tan \alpha = \frac{1}{1} = 1$$

De ello se deduce que $\alpha = \frac{\pi}{4}$ . Para encontrar $R$ podemos elevar al cuadrado ambos términos. Obsérvese en primer lugar que

$$(R\cos\alpha)^2 + (R\sin\alpha)^2 = 1^2 + 1^2$$

Expandir y luego utilizar la identidad $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha \equiv 1$ da $R^2 = 2$ Por lo tanto $R = \sqrt{2}$ . Tenemos:

$$\cos x + \sin x \equiv \sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$

Answer 2

Para cualquier $x\in [0,2\pi]$ obtienes $f'(x)=\cos (x) -\sin (x)$ y $f''(x)=-\sin (x)-\cos (x)$ . Por lo tanto $$\begin{align} f'(x)=0&\iff \cos (x) -\sin(x)=0\\ &\iff \cos (x) =\sin (x)\\ &\iff x\in \{\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\} \end{align}$$

Lo que te da los puntos críticos $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ y $\displaystyle \frac{5\pi}{4}$ .

La última equivalencia es fácil de ver geométricamente si nos fijamos en el círculo unitario .

No entiendo por qué te metes con $\cos ^{-1}$ . ¿Podría explicárnoslo para que podamos ayudarle?

Del mismo modo, para $f''$ tendrás los ceros $\displaystyle \frac{3\pi}{4}$ y $\displaystyle \frac{7\pi}{4}$ .

Answer 3

$-\sin(x)+\cos(x)=0 \iff \sin(x)=\cos(x)$ que debería ser relativamente fácil de ver cuando eso sucede, ¿verdad?

Considere $x=\frac{\pi}{4},-\frac{\pi}{4}$ y observa los valores del seno y el coseno en estos casos.

Para los puntos de inflexión, obsérvese que los ceros de la segunda derivada son los mismos que los ceros de la función inicial, lo que es probable que ocurra en los puntos en los que $\sin(x)=-\cos(x)$ que podrían considerarse como las imágenes especulares del caso anterior. Se podría dividir por $\cos(x)$ y obtenemos el -1 que también es relativamente solucionable teniendo en cuenta la idea geométrica que he mencionado antes aquí ya que los ceros de la primera derivada están donde $y=x$ y el segundo caso es la intersección de $y=-x$ .

Si te sirve de ayuda, recuerda las fórmulas para $\sin(\theta)=y/r$ y $\cos(\theta)=x/r$ .

Answer 4

La primera derivada te muestra tus puntos mínimo y máximo. Sabes que verás un mínimo o un máximo siempre que $\cos(x) = \sin(x)$ . Esto ocurre en intervalos de $\frac{\pi}{4}$ .

Te recomiendo que pruebes a poner todos los múltiplos de $\frac{\pi}{4}$ de cero a $2\pi$ y obtendrás un conjunto de puntos que corresponden a todos los mínimos y máximos.