Sólo porque
Rep es unitario, por lo que ahorra norma positiva-definida (para la densidad de posibilidad),
Los operadores Casimir del grupo tienen valores propios $m^{2}$ y $m^2s(s + 1)$ caracteriza la masa y el espín, y
Es la representación del grupo global de simetría relativista,
¿Sí?
En primer lugar, hay que tener en cuenta que en física consideramos representaciones unitarias $U$ del grupo de Poincare actuando sobre el espacio de Hilbert $\mathcal H$ de la teoría porque estamos interesados en una formulación precisa del concepto de transformaciones de Poincare que actúan sobre los estados mecánicos cuánticos de la teoría como simetrías (ya que las leyes de la física deben ser invariantes del marco inercial); y por el teorema de Wigner, elegimos que estas simetrías se realicen mediante operadores unitarios. Estas observaciones están relacionadas con tus #1 y #3 y creo que deberían mantenerse conceptualmente distintas de la noción de un estado que representa un estado de una sola partícula.
En segundo lugar, puesto que se supone que estas teorías cuánticas de campos permiten la aparición de estados de partículas, y en particular deberían dar cuenta de estados en los que hay una única partícula elemental, esperamos que haya algún subconjunto $\mathcal H_1$ del espacio de Hilbert de la teoría correspondiente a los estados que "contienen" una sola partícula elemental.
Teniendo en cuenta estas observaciones, reformulemos su pregunta de la siguiente manera:
¿Qué propiedades esperamos que tenga la acción de la representación $U$ tendrá cuando su dominio se restrinja al subespacio $\mathcal H_1$ ?
En particular, nos gustaría justificar la siguiente afirmación
La restricción de la representación unitaria $U$ actuando sobre $\mathcal H$ al subespacio de una sola partícula $\mathcal H_1$ es una representación irreducible del grupo de Poincare que actúa sobre $\mathcal H_1$ .
Para ello es necesario justificar dos cosas:
Creo que la justificación de la primera propiedad es bastante intuitiva. Si todo lo que estamos haciendo es aplicar una transformación de Poincare al estado del sistema, es decir, sólo estamos cambiando de marco, entonces el número de partículas en el estado no debería cambiar. Sería bastante extraño si, por ejemplo, impulsáramos o rotáramos de un marco inercial a otro y descubriéramos que de repente hay más partículas en nuestro sistema.
El requisito de irreducibilidad significa que el único subespacio invariante del subespacio de partícula única $\mathcal H_1$ es ella misma y $\{0\}$ . La intuición física aquí es que puesto que estamos considerando un subespacio del espacio de Hilbert en el que hay un único elemental partícula, esperar que no haya ningún subespacio no trivial de $\mathcal H_1$ en el que los vectores de este subespacio simplemente se "rotan" entre sí. Si así fuera, la partícula no sería "elemental" en el sentido de que el subespacio invariante no trivial representaría los estados de alguna partícula "más elemental". Sin embargo, a la hora de la verdad, no estoy seguro de si existe alguna justificación más fundamental de por qué la restricción de $U$ a $\mathcal H_1$ es irreductible, aparte de las décadas de experiencia que tenemos ahora con la física de partículas y la teoría cuántica de campos.
Las representaciones irreducibles del grupo de Poincaré se etiquetan por masa $m$ y el giro $s$ [esto corresponde a las invariantes de Casimir $m^2$ y $m^2s(s+1))$ por lo que corresponde naturalmente a $1$ -afirma el relativista de partículas.
Los estados correspondientes a una representación $m, s$ están etiquetados $|p,\lambda \rangle$ con $p^2=m^2$ y $-s \leq \lambda \leq s$ y también corresponde aquí a $1$ partículas.
Para los estados multipartícula (estados de Fock), tenemos productos tensoriales simétricos o antisimétricos de estos estados, por ejemplo, a $2$ -El estado bosónico de una partícula se puede escribir:
$$|p \lambda \rangle_1|p' \lambda' \rangle_2 + |p' \lambda \rangle'_1|p \lambda \rangle_2$$
Está claro que estas representaciones multipartícula no son más irreductibles (porque son una suma de producto de representaciones irreductibles) .
La unitariedad no influye en esto, los estados de Fock corresponden a una representación unitaria.
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