Resolución inyectiva de $\mathbb Z / p$ ¿pero los objetos resultantes no son inyectivos?

Question

Estoy tratando de encontrar una resolución inyectiva para el $\mathbb Z$ -módulo $\mathbb Z/p$ donde $p$ es un primo. He encontrado el resultado de que una resolución inyectiva para un PID $R$ es de la forma $$ 0 \rightarrow R \rightarrow K \rightarrow K/R \rightarrow 0 $$ donde $K$ es el campo de fracciones de $R$ . Desde $\mathbb Z /p$ es un campo, en nuestro caso $K = \mathbb Z /p$ . Así que la resolución inyectiva aquí es $$ 0 \rightarrow \mathbb Z /p \rightarrow \mathbb Z /p \rightarrow 0 \rightarrow 0 $$ donde el mapa no trivial es la identidad (debido al isomorfismo canónico entre $R$ y $K$ cuando $R$ es un campo?).

Pero también tenemos el resultado de que para un dominio integral $R$ , an $R$ -módulo $M$ es inyectiva si y sólo si es divisible. En nuestro caso, tomemos $p=2$ . Entonces $\mathbb Z / 2 $ seguramente no es divisible porque para $4 \in \mathbb Z$ y $1 \in \mathbb Z /2$ no hay $ n \in \mathbb Z /2$ tal que $4n=1$ . Pero seguramente debería ser divisible porque debería ser inyectiva ya que hemos demostrado que forma parte de una resolución inyectiva. Agradecería que alguien me aclarara en qué me he equivocado. Muchas gracias.

Edita: con respecto a los comentarios, supongo que tengo otra pregunta que sería: al decir $$0 \rightarrow R \rightarrow K \rightarrow K/R \rightarrow 0$$ es una resolución inyectiva, ¿qué deben ser inyectivos los objetos de la secuencia en ? Pensé que ya que estamos tratando las cosas como $\mathbb Z$ -módulos originalmente (es decir, trabajar en la categoría $\mathbb{Z} \text{-Mod}$ ), ¿nuestros objetos deben ser inyectivos en esta categoría?

Answer 1

El grupo $\mathbb{Z}(p)$ (esta es una notación más común en este contexto) no es inyectiva ya que no es divisible.

Su envolvente inyectiva es la Prüfer $p$ -grupo $\mathbb{Z}(p^{\infty})$ . Dado que todo cociente no nulo de $\mathbb{Z}(p^{\infty})$ es isomorfo a $\mathbb{Z}(p^{\infty})$ una resolución inyectiva es $$ 0\to\mathbb{Z}(p)\to\mathbb{Z}(p^{\infty})\to\mathbb{Z}(p^{\infty})\to0 $$

Utilizando el campo de cocientes $\mathbb{Q}$ es imposible, porque $\mathbb{Z}(p)$ es de torsión, por lo que no puede incrustarse en el grupo sin torsión $\mathbb{Q}$ .

El hecho de que $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ (como campo) es inyectivo como módulo sobre sí mismo no tiene importancia. Si $A$ es cualquier anillo conmutativo y $I$ es un ideal maximal del mismo, entonces $A/I$ es un campo (por tanto, un módulo inyectivo sobre sí mismo), pero generalmente no es cierto que todo módulo simple $A$ -es inyectivo (como módulo sobre $A$ ).

Si $R$ es un dominio Dedekind, entonces $0\to R\to K\to K/R\to 0$ es una resolución inyectiva de $R$ como $R$ -con el campo cociente $K$ considerado como un $R$ -módulo, por supuesto.