Cuando pensamos en sistemas no hermitianos, el significado físico del valor propio de $H$ parece difícil de entender directamente como la energía del sistema.
En otras palabras, si medimos experimentalmente un sistema no hermitiano, ¿podemos seguir midiendo niveles de energía? ¿Está el nivel de energía en este momento relacionado con la parte real del valor propio de $H$ ?
Si un hamiltoniano es hermitiano, entonces sus valores propios son reales (y deducimos que son observables) y sus estados propios son completos (forman una base en el espacio de Hilbert correspondiente).
En general, un Hamiltoniano no-hermitiano no tendrá eigenvalores reales y como tal no propondríamos ser capaces de observar / medir una "energía compleja". Sin embargo, como señala Jon, hay algunos hamiltonianos no hermitianos que tienen valores propios reales, en cuyo caso nada nos impide interpretar los valores propios como energías mensurables. Por otra parte, la evolución temporal sería no unitaria, lo que suele tomarse como una propiedad deseable de la mecánica cuántica.
Sin embargo, el teorema espectral que nos informa de que los estados propios de los operadores autoadjuntos son completos dejaría de aplicarse, por lo que no tengo claro que esos hamiltonianos sean "útiles": ¿cómo descomponer un estado arbitrario en una combinación lineal (superposición) de estados propios del hamiltoniano? En cualquier caso, es una línea de investigación en curso; en mi instituto hemos tenido dos charlas de visitantes externos sobre este trabajo en los últimos 18 meses....
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