Límite superior e inferior de la función de fracción : $ \sum_{n=0}^{N-1}(-1)^n\binom{N-1}{n}\frac{1}{(n+1)*cx} $

Question

Sea $c$ y $N$ sean dos números reales positivos con $c>0$ y $x$ número muy elevado. El número $c$ tienen dos casos $c<1$ y $c\geq 1$ .

si hay algún límite superior e inferior para la siguiente expresión $$ \sum_{n=0}^{N-1}(-1)^n\binom{N-1}{n}\frac{1}{(n+1)*cx} $$ para los dos casos.

¿Podemos establecer un límite superior $$ \sum_{n=0}^{N-1}(-1)^n\binom{N-1}{n}\frac{1}{(n+1)*cx} $$ por $$ \sum_{n=0}^{N-1}(-1)^n\binom{N-1}{n}\frac{1}{n+cx} $$ o podemos hacer \begin{align} ncx+cx\geq& n+cx\\ \frac{1}{ncx+cx}\leq& \frac{1}{n+cx} \end{align}

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$\frac1{n+y}=\int_0^1x^{n+y-1}{\rm~d}x$$

y que

$$\sum_{n=0}^{N-1}\binom{N-1}n(-1)^nx^{n+y-1}=x^{y-1}(1-x)^{N-1}$$

que da

$${\rm B}(y,N)=\int_0^1x^{y-1}(1-x)^{N-1}{\rm~d}x$$

que es el función beta . Suponiendo que $y$ es un número natural, esto nos da

$$\sum_{n=0}^{N-1}\binom{N-1}n\frac{(-1)^n}{n+y}=\frac{(y-1)!(N-1)!}{(y+N-1)!}$$

lo que reduce el problema a acotar los factoriales, lo que puede hacerse mediante aproximaciones de Stirling.

Y por la otra suma,

$$\sum_{n=0}^{N-1}\binom{N-1}n\frac{(-1)^n}{(n+1)cx}=\frac1{Ncx}$$

que puede deducirse de lo anterior.