Quiero hacer algo muy concreto: escribir un suave esquema de grado y dimensión en proyectivo n-espacio.
Una forma natural de hacerlo es intentar escribir una completa intersección, pero no todos los títulos/dimensiones puede ser conseguido de esta manera. Por ejemplo, quiero escribir un suave, no degenerada cúbicos de superficie en $\mathbb{P}^4$.
Lo que es una forma sistemática para ir sobre este tipo de problema?
No sé lo que es un método sistemático que sería, pero en este caso particular, el Segre y la incrustación de $\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^5$ tiene el grado $3$. Así, por Bertini del teorema, un genérico hyperplane rebanada de $\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^1$ será un grado $3$ de la superficie en $\mathbb{P}^4$.
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