Puede 3 luces se colocan en el exterior de cualquier convexo de N dimensiones sólido, de modo que todos los puntos de su superficie está iluminada?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Ya en tres dimensiones, la respuesta es no.
Deje que el sólido de ser una esfera. Considere la posibilidad de dos luces en diferentes posiciones. Junto con el centro de la esfera, que definen un plano. Los dos puntos en la esfera más alejada del plano son antipodal, y no están iluminadas por las dos luces. La tercera luz puede iluminar tanto antipodal puntos.
La prueba se generaliza fácilmente a $$ n dimensiones. Es insuficiente la utilización de $n$ las luces, porque $n-1$ de ellos junto con el centro de la hypersphere definir un $(n-1)$-dimensional hyperplane, que los rendimientos de los dos oscuro antípodas, y ya sabes el resto.
También, $n+1$ de las luces debe ser suficiente para cualquier cuerpo convexo: lugar de ellos en los vértices de un simplex que estrictamente contiene el cuerpo. (Una rigurosa justificación se me escapa en este momento, pero intuitivamente parece muy claro.) En particular, esto responde @Listado de comentario en la afirmativa.
bea
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16
Sin considerar la posibilidad de una esfera 3D. Después de la colocación de la primera 2 luces, aún habrá 2 antipodal puntos que no están iluminadas. No hay una tercera luz podría luz de ambos.
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Por otro lado, si puedes colocar luces en el infinito, creo que se podría hacer en el 2. Considere la posibilidad de colocar las luces brillando en el infinito de la exacta direcciones opuestas. Desde un cuerpo convexo en dimensiones finitas es una contables intersección de halfspaces, el número de direcciones en las que este procedimiento puede fallar a plena luz de la esfera es contable, mientras que el número de posibles direcciones para elegir es incontable.
Por ejemplo, usted podría fallar a la luz de un cubo si brilló desde una dirección exactamente paralelo a algunos de los rostros, pero si la inclinación del ángulo un poco de que va la luz todos los rostros.
Edit: Para elaborar un poco, si las direcciones a brillar de están representados por puntos en la unidad de la esfera, entonces el conjunto de las direcciones paralelas a un halfspace forma de un arco circular. El conjunto de todas las direcciones paralela al menos una halfspace la definición de la convexo cuerpo es entonces una contables de la unión de arcos circulares, que no puede cubrir la totalidad de la esfera.
Droidnoid
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141
También depende de cómo usted decide tratar el comportamiento asintótico, es decir, - es el sólido iluminado por la tangente de un rayo? En un sentido práctico, porque la difusión de la luz, pero entonces tu pregunta parece bastante teórico.
Por $2$ dimensiones: $$x^2+y^2 = 1.$$
Vamos a la fuente de luz de 1 $de$ ser $(0, \infty)$, y la fuente $2$ en $(0, -\infty)$. Esto sería básicamente hacer tangentes con el círculo de la esencia de $(1,0)$ y $(-1,0)$.
Por $$ n dimensiones:
$$x_1^2+x_2^2+ \cdots + x_n^2 =1.$$
Es básicamente la misma, donde se toma un vector, en el infinito: $(0,0, \dots, \infty)$, $(0,0, \dots, -\infty)$.
Un comportamiento similar con tangentes se produce, a pesar de que había de suceder a lo largo de una región, en lugar de sólo un par de puntos.
Si usted debe arrojar luz sobre las tangentes, supongo que las cosas se ponen un poco más complicadas, y $4$ fuentes de luz podría ser su mejor apuesta. Esta debe ser la correcta, no importa la dimensión, debido a que las fuentes de luz que técnicamente debe irradiar en todas direcciones, de todos modos, y es muy obvio por el hecho de que siempre se puede descomponer el problema en 2d, y va a ser exactamente el mismo, no importa donde, en las múltiples dimensiones que lo tome en.
Edit: Esto es principalmente debido a que si se coloca a un punto en el $(0,0, \dots, \infty)$, si usted lo mira desde una perspectiva 2d de cualquier plano que no incluye el infinito, la fuente de luz, básicamente, incide directamente sobre el sólido, desde el punto en realidad se encuentra dentro de la región.
