Existencia de una secuencia $(x_{1},...)$ tal que $x_{n+1} \in G(x_{n})$ donde $G$ es una correspondencia no vacía

Question

Sea $G: \mathbb{R} \rightrightarrows \mathbb{R}$ una correspondencia tal que $G(x) \neq \emptyset$ para todo $x \in \mathbb{R}$. ¿Es el conjunto:

\begin{equation} S(x_{0}) := \{(x_{1},...) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}: x_{1} \in G(x_{0}) ~y~ x_{n+1} \in G(x_{n}) ~para~todo~ n \in \mathbb{N}\} \end{equation}

no vacío para todo $x_{0} \in \mathbb{R}$? Parece 'obvio' que sí, pero no he podido encontrar una demostración que me gustaría tener. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Tal vez la prueba más simple usa el axioma de elección en la forma "Cada relación tiene un subconjunto que es (el gráfico de) una función con el mismo dominio que la relación." Aplica esto a la relación $G$ en la pregunta para obtener una función $F:\mathbb R\to\mathbb R$. Luego define la secuencia deseada inductivamente, comenzando con el $x_0$ prescrito y continuando con $x_{n+1}=F(x_n)$ para todos los $n$.

Answer 2

$1.$ Podemos obtener una prueba de tu afirmación mediante el Lema de Zorn. Supongamos que $x_0 \in \mathbb{R}$. Considera el siguiente conjunto: $$X:=\{x_{ - } \colon A \to \mathbb{R} : A=\mathbb{N} \text{ o } A = \{1,...n \} \text{ para algún } n \in \mathbb{N} \text{ tal que } n\geq 1 \text{ y es el caso que } x_1 \in G(x_0), x_2 \in G(x_1), ... \} $$ con la inclusión de mapas (es decir, $g \subset f$ si y solo si $f$ extiende a $g$). Con $x_i$ nos referimos a la imagen de $i \in \mathbb{N}$ tal que $i \geq 1$ a través del mapa $x_{-}$. Entonces $X$ es un conjunto parcialmente ordenado y, por supuesto, no es vacío: podemos elegir $x_1 \in G(x_0)\neq \emptyset$ y considerar el único mapa $\{1\} \to \{x_1\}$: este es un elemento de $X$.

Ahora necesitamos demostrar que cada cadena de $X$ tiene una cota superior: sea $Y \subset X$ una cadena (es decir, $Y$ está totalmente ordenado por la inclusión de mapas). Entonces la unión $y_{-}$ de los elementos de $Y$ sigue siendo un mapa y su dominio es $\mathbb{N}$ o $\{1,...n\}$ para algún $n \in \mathbb{N}$ tal que $n \geq 1$. Es el caso que $y_1 \in G(x_0)$, $y_2 \in G(y_1)$, ... ya que los elementos de $Y$ cumplen esa propiedad. Entonces $y_{-} \in X$ y, dado que cada elemento de $Y$ está contenido en $y_{-}$, concluimos que $y_{-}$ es una cota superior de $Y$.

Estamos en la hipótesis del Lema de Zorn. Entonces existe $x_{-} \in X$ tal que $x_{-}$ es un elemento maximal (es decir, un elemento de $X$ que contiene a $x_{-}$ y que es diferente de $x_{-}$ no existe). Por supuesto, el dominio de $x_{-}$ es $\mathbb{N}$. De hecho, si no fuera $\mathbb{N}$, entonces sería $\{1,...,n\}$ para algún $n \in \mathbb{N}$ tal que $n \geq 1$. Entonces, al ser $G(x_n) \neq \emptyset$, podríamos elegir $x_{n+1} \in G(x_n)$ y extender $x_{-}$ a un mapa cuyo dominio sería $\{1,...,n+1 \}$. Ese nuevo mapa sería un elemento de $X$ que extiende a $x_{-}$ y que es diferente de $x_{-}$: ¡no puede existir, ya que $x_{-}$ es maximal!

Entonces, el dominio de $x_{-}$ debe ser $\mathbb{N$, como dijimos. Dado que $x_{-} \in X$, es el caso que $x_1 \in G(x_0)$, $x_2 \in G(x_1)$, ... . Entonces $(x_1,x_2,...) \in S(x_0)$.

$2.$ Otra prueba es la siguiente (usaremos el símbolo $\mathbb{N}$ para referirnos al conjunto $\mathbb{N} \diagdown \{ 0 \}$):

Fijo $x_0 \in \mathbb{R}$, supongamos que existe una familia $ \{ x_{-}^n \colon \{1,...,n \} \to \mathbb{R} \}_{n \in \mathbb{N}}$ tal que se cumple la siguiente propiedad: para cada $n \in \mathbb{N}$, es el caso que:

1. para cada $i \in \{1,...,n\}$, es el caso que $x_i^n \in G(x_{i-1}^n)$ (donde $x_0^n:=x_0$ para cada $n \in \mathbb{N}$);

2. para cada $k \in \{1,...,n-1\}$, es el caso que $x_{-}^n \supset x_{-}^{k}$.

Entonces definimos $x_{-}:=\cup \{ x_{-}^n \}_{n \in \mathbb{N}}$. Observa que $x_{-}$ sigue siendo un mapa, debido a 2, y su dominio es $\cup\{ \{1,...,n\} \}_{n \in \mathbb{N}} =\mathbb{N}$. Dado que 1 se cumple, es el caso que $x_i \in G(x_{i-1})$, para cada $i \in \mathbb{N}$. Entonces $(x_1,x_2,...) \in S(x_0)$.

Ya está si existe tal familia: para definirla solo necesitamos el Principio de Inducción Matemática. Al principio definimos $x_{-}^1$ eligiendo un elemento de $G(x_0)$. Entonces, suponiendo que $x_{-}^n$ existe para $n \in \mathbb{N}$, definimos $x_{-}^{n+1}$ eligiendo un elemento de $G(x_n^n)$ y extendiendo $x_{-}^n$ con ese elemento.