¿Es cierta la afirmación "1/3 de los números naturales son divisibles por 3"? ¿Hay algo parecido que sea cierto?

Question

Si hablamos de un conjunto finito de los números naturales, como los comprendidos entre 1 y 500 o entre 1 y un millón, me parece que la fracción de números de ese conjunto finito que tienen un factor de 5 se aproxima a $1/5$ a medida que aumenta el tamaño del conjunto. Como aproximadamente $1/2$ de todos los números de dicho conjunto tienen un factor de 2, aproximadamente $1/3$ tienen un factor de 3, y así sucesivamente; y esta aproximación se hace menos "aproximada" y más exacta a medida que aumenta el tamaño del conjunto.

Entonces, ¿podemos decir que de todo el conjunto de los números naturales, exactamente $1/5$ son divisibles por 5? ¿O tal vez que el límite de la fracción de los números naturales menor o igual que un n dado divisible por un entero dado se aproxima a 1/ese entero a medida que n se acerca al infinito?

(Me encantaría saber cómo formular esta pregunta con la notación adecuada).

Answer 1

Esto sí que se puede formalizar. Para formalizar la afirmación " $x$ fracción de números naturales satisfacen la propiedad $P$ "definimos la función $$f(n)=\text{ number of natural numbers }\leq n\text{ which satisfy }P$$ y escribe $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{f(n)}{n}=x$ . En su primer caso, la función $f$ viene dado por $f(n)=\lfloor n/3\rfloor$ y la declaración pasa a ser $$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\lfloor n/3\rfloor}{n}=\frac{1}{3}$$ lo que se ve fácilmente que es cierto, ya que $\frac{1}{3}-\frac{1}{n}\leq \frac{\lfloor n/3\rfloor}{n}\leq \frac{1}{3}$ . Resultados similares son válidos para cualquier número natural en lugar de $k$ .

Answer 2

Mira hacia arriba _densidad natural_ o densidad asintótica .

Answer 3

He aquí los números enteros positivos divisibles por $3$ : $$ 3,6,9,12,15,18,21,\ldots $$ Aquí están los que no son divisibles por $3$ : $$ 1,2,4,5,7,8,10,11,\ldots $$ Ahora supongamos que alternamos entre la primera lista y la segunda: $$ \begin{array}{} 3 & & & & 6 & & & & 9 & & & & 12 & & & & 15 & & & & \cdots\cdots \\ & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow \\ & & 1 & & & & 2 & & & & 4 & & & & 5 & & & & 7 \end{array} $$

Entonces podríamos argumentar de la misma manera que medio de todos los números enteros positivos son divisibles por $3$ .

Tiene sentido decir $1/3$ de ellos son divisibles por $3$ Entendiendo esa afirmación en un contexto determinado, pero definir ese contexto es algo que habrá que examinar.

Answer 4

Si se calcula la fracción de enteros positivos de $1$ a $m$ que son múltiplos de $n$ obtenemos una secuencia cuyo límite es $\frac{1}{n}$ como $m\to \infty$ . Si preguntamos por el tamaño del conjunto de enteros positivos que son múltiplos de $n$ comparado con el de todos los enteros positivos, la respuesta es que son iguales en cierto sentido, ya que ambos son contablemente infinitos.