¿Ley del Arco Senoidal para el Paseo Aleatorio condicionada a la no absorción o no?

Question

Sea $S_n$ sea un paseo aleatorio simétrico simple sobre los enteros en $[-N,N]$ con los estados $N$ y $-N$ absorbente. Deja que $\tau$ será el momento de la absorción cuando $S_0 = 0$ .

¿Es el $E(S^{2}_{n}| \tau \geq n)$ ¿Conocido? Además, ¿se conoce la distribución de $S^{2}_{n}$ condicionado a $\tau \geq n$ de tipo arcoseno, ¿o se concentra alrededor del origen (como sugiere la intuición común debido al condicionamiento)?

La primera pregunta está relacionada con el post anterior: Escalado de los tiempos de primer paso para el paseo aleatorio sobre retículos enteros

Por supuesto, $E$ denota el valor esperado y $S^{2}_{n}$ denota el cuadrado del valor de $S_{n}$ .

Answer 1

Este problema, y su análogo para el movimiento browniano se han resuelto tan resuelto como se puede conseguir, que puede no ser tan resuelto como usted desea, por la misma técnica, que es una expansión eigenfunction de las matrices de transición (resp. núcleos). Las funciones propias son pecado para ambos. Hay un artículo de Mark Kac de los años 50, tal vez en el Duke Journal, que trata el caso discreto, pero posiblemente también pueda encontrarse en Feller vol. 1. Todas las ideas para el caso del movimiento browniano se encuentran en Port & Stone, Brownian Motion and Potential theory, pero probablemente también en Karlin & Taylor vol 2. Así, por ejemplo, la densidad de $S_N$ condicionado a no haber golpeado, etc. converge a la primera función propia como $N \rightarrow \infty$