Consideremos el álgebra de Banach $B_2(H)$ de operadores de Hilbert Schmidt en un espacio de Hilbert $H$ con norma de Hilbert Schmidt. Sabemos que $B_2(H)$ es también un espacio de Hilbert con $\left<A,B\right>=tr(B^*A)$ .busco un ejemplo de par de secuencias $A_i,\tilde A_j$ y $T_i,\tilde T_j$ en la bola unitaria cerrada de $B_2(H)$ y $B(B_2(H))$ respectivamente y a $D\in B_2(H)$ tal que ambos límites iterados de $\left<T_i\tilde T_j(A_i\tilde A_j),D\right>$ existe pero $$\lim_i\lim_j \left<T_i\tilde T_j(A_i\tilde A_j),D\right>\neq \lim_j\lim_i \left<T_i\tilde T_j(A_i\tilde A_j),D\right>$$ En caso contrario demostrar que si existen límites iterados entonces son iguales.
Respuesta
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Para $\xi,\eta\in H$ deje $\theta_{\xi,\eta}$ sea el operador de rango uno $\theta_{\xi,\eta}(\gamma) = (\gamma|\eta) \xi$ para $\gamma\in H$ .
Sea $(e_i)$ sea una sucesión ortonormal en $H$ set $S_i = \theta_{e_1, e_i} \in B(H)$ y que $R_j$ sea la proyección sobre el tramo de $\{e_1,e_2,\cdots,e_j\}$ . Entonces $$ \lim_i \lim_j (S_iR_j(e_i)|e_1) = \lim_i (S_i(e_i)|e_1) = \lim_i (e_1|e_1) = 1, $$ mientras que $$ \lim_j \lim_i (S_iR_j(e_i)|e_1) = \lim_j \lim_i (R_j(e_i)|e_i) (e_1|e_1) = 0. $$
Ahora "incrustamos" esto en tu ejemplo. Dejemos que $\tilde A_j = \theta_{e_1,e_1}$ para todos $j$ y fijar $A_i = \theta_{e_i,e_1}$ así que $A_i \tilde A_j = A_i$ . Defina $\tilde T_j(a) = \theta_{R_j(a(e_1)), e_1}$ para $a\in B_2(H)$ una simple estimación muestra que $\tilde T_j$ está limitada. Defina $T_i(a) = \theta_{S_i(a(e_1)),e_1}$ . Entonces $$ \tilde T_j (a) (e_1) = \theta_{R_j(a(e_1)), e_1} (e_1) = R_j(a(e_1)) \qquad (a\in B_2(H)). $$ Así $$ T_i \tilde T_j(a) = \theta_{S_i R_j(a(e_1)), e_1} \implies T_i \tilde T_j (A_i \tilde A_j) = T_i \tilde T_j(\theta_{e_i,e_1}) = \theta_{S_iR_j(e_i),e_1}. $$ Si ahora dejamos que $D=\theta_{e_1,e_1}$ entonces $$ \Big\langle T_i \tilde T_j (A_i \tilde A_j), D \Big\rangle = \operatorname{Tr}\Big( \theta_{S_i R_j(e_i),e_1} \Big) = (S_i R_j(e_i) | e_1). $$ Como en el caso anterior, esto tiene diferentes límites iterados.
