si la inversa de imágenes del cierre de las pelotas son cerradas, es $f$ continua?

Question

Es el siguiente afirmación verdadera? (se le pide ser comprobado)

Si $f: D \to\mathbb R^n$, y para cada cerrado bolas $B$$\mathbb R^n$, pre-imagen de $f$ $B$ es cerrado en $D$, $f$ es continua en a $D$.

Sé el análogo de la instrucción para la apertura es cierto. Porque el hecho de que cada conjunto abierto es equivalente a la unión de ciertos abrir bolas. Sin embargo, no hay ningún teorema que cualquier conjunto cerrado puede ser escrito en la intersección de cerrados bolas. Estoy confundido.

Answer 1

No creo que esto es cierto. Lo que si definimos $f: D:= [0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ por la fórmula $f(x) = \frac{1}{x}$$x > 0$, e $f(0) = 3$. Esta función no es continua, debido a que la secuencia de $\frac{1}{n}$ converge a $0$, pero $f(\frac{1}{n})$ no converge a $f(0) = 3$. Otra manera de ver esto es que la preimagen del conjunto cerrado $[4, \infty)$ bajo$f$$(0,\frac{1}{4}]$, que no está cerrado en $D$.

Ahora, vamos a comprobar que la preimagen de cualquier cerrada balón $[a,b]$ $\mathbb{R}$ es cerrado en $D$. Deje $g$ ser la restricción de la función de $f$ para el intervalo abierto $(0,\infty)$. Tenga en cuenta que $g^{-1}[a,b]$ es cerrado, no sólo en $(0,\infty)$, pero también en $D$.

Si $[a,b]$ no contiene $3$, $f^{-1}[a,b]$ es un subconjunto de a $(0,\infty)$, y por lo $f^{-1}[a,b] = g^{-1}[a,b]$, que se cierra en $D$. Si $3 \in [a,b]$,$f^{-1}[a,b] = \{0\} \cup g^{-1}[a,b]$, $g^{-1}[a,b]$ cerrado en $D$.

Answer 2

Aquí es el "universal" contraejemplo. Deje $D=\mathbb{R}^n$, con la topología que tiene como subbasis los conjuntos de $\mathbb{R}^n\setminus B$ para el cierre de bolas $B$. A continuación, el mapa de identidad $i:D\to \mathbb{R}^n$ satisface su condición, pero no es continua (porque, por ejemplo, cualquier vacío abierto subconjunto de $D$ contiene el complemento de un número finito de la unión de las bolas y por lo tanto es ilimitado). Este es universal en el que se asignan $f:X\to\mathbb{R}^n$ satisface su condición iff no es necesariamente único) mapa continuo $g:X\to D$ tal que $f=ig$ (es decir, $g$ $f$ considera como un mapa a $D$).

Por otro lado, no hay contraejemplos si se requiere la función de ser acotada. Para mostrar esto, queremos mostrar que $i$ es continua cuando se limita a cualquier conjunto acotado. Concretamente, esto significa que si $A\subset\mathbb{R}^n$ delimitada, $U\subseteq A$ es abierto en la topología usual, y $x\in U$, entonces podemos encontrar un número finito cerrado bolas $B_1,\dots, B_m$ tal que $x\in A\setminus(B_1\cup\dots B_m)\subseteq U$. Para probar esto, tenga en cuenta que podemos suponer $A$ es cerrado y por lo tanto compacto, por lo $A\setminus U$ es también compacto. Para cada una de las $y\in A\setminus U$, se puede elegir una bola abierta en torno a $y$ cuyo cierre no contiene $x$. Un número finito de estas bolas, a continuación, cubierta $A\setminus U$ por compacidad, y usted puede tomar $B_1,\dots,B_m$ a sus cierres.