Problema de valor inicial con $x^2u''-2xu'+2u=24/x^2$

Question

Tengo algunos problemas para encontrar los coeficientes y potencias de $x$ en el siguiente problema.

Resuelva $x^2u''-2xu'+2u=\frac{24}{x^2}$ con $u(1)=2$ y $u'(1)=-5$ .

Primero puse $$Lu_H=x^2u''-2xu'+2u=0$$ para encontrar la solución homogénea. Tras diferenciar y sustituir en la ecuación homogénea obtengo $$Lu_H=\sum_{k=0}^{\infty}\left[x^k\left(A_{k+2}k(k-1)x^2-2A_{k+1}kx+2A_k\right)\right].$$ (Este parece ser el problema, ya que luego consigo un coeficiente correcto pero otro incorrecto).

Para la solución particular, intento $$u_P=\frac{C}{x^2}$$ para alguna constante $C$ lo que arroja $C=2$ . (Por cierto, esta parte parece correcta, ya que hay un término en las respuestas que coincide).

Ahora tenemos $$u=u_H+u_P=\sum_{k=0}^{\infty}\left[x^k\left(A_{k+2}k(k-1)x^2-2A_{k+1}kx+2A_k\right)\right] +\frac{2}{x^2}.$$

Diferenciando y sustituyendo los valores iniciales se obtiene que $$\sum_{k=0}^{\infty}\left[A_{k+2}k(k-1)-2A_{k+1}k+2A_k \right]=0 \qquad (\ast)$$ y $$\sum_{k=0}^{\infty}A_{k+1}\left[k(k-1)(k-2)-2k(k+1)+2k \right]=-1.$$

Sin embargo, parece que he hecho algo mal en alguna parte, ya que las respuestas dan $u=x-x^2+2x^{-2}$ . Lo primero es la ecuación $(\ast)$ lo que me da un valor erróneo para el coeficiente. La segunda cosa que no entiendo es dónde están los términos en $x$ y $x^2$ en las respuestas.

Puedo ver dónde deberían ir mis coeficientes y que sustituyendo esto de nuevo se resolverá la ecuación original, pero si alguien pudiera explicar por qué sabemos que estos son los términos que van con los coeficientes sería estupendo.

Muchas gracias.

Answer 1

Se nos da:

$$\tag 1 x^2u''-2xu'+2u=\frac{24}{x^2},~u(1)=2, ~ u'(1)=-5.$$

Se trata de una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden con forma de Cauchy-Euler.

Escojamos $u = x^r$ así que tenemos:

$$\tag 2 u = x^r, ~u' = rx^{r-1}, ~u'' = r(r-1)x^{r-2}$$

Sustituyendo $(2)$ de nuevo en $(1)$ rendimientos:

$x^2(r(r-1)x^{r-2}) -2x(rx^{r-1})+2x^r = \dfrac{24}{x^2}$

Simplificación de los rendimientos:

$$(r^2 - 3r + 2)x^r = \dfrac{24}{x^2}$$

Resolvamos primero la solución homogénea, así tenemos:

$$r^2-3r+2 = 0 \rightarrow r = 1, ~ r = 2$$

Entonces, nuestra solución homogénea es de la forma:

$$u_h(x) = c_1 x + c_2 x^2$$

Para la solución particular, podemos adivinar una solución de la forma $\dfrac{c}{x^2}$ y resolver para $c$ (como ha hecho usted) o utilice Variación de los parámetros con:

• $w_1(x) = x, w_2(x) = x^2$
• Esto nos da un Wronskian, $W(x, x^2) = x^2$ que es distinto de cero.
• Siguiendo el planteamiento de la Wiki, obtenemos:

$w_1(x) = \dfrac{8}{x^3}, ~ w_2(x) = -\dfrac{6}{x^4}$ por lo que la solución particular viene dada por:

$$u_p(x) = xw_1(x) + x^2w_2(x) = \dfrac{2}{x^2}$$

Nuestra solución es entonces:

$$u(x) = u_h(x) + u_p(x) = c_1 x + c_2 x^2 + \dfrac{2}{x^2}$$

Utilizando nuestras condiciones iniciales, llegamos a $c_1 = 1, c_2 = -1$ ., así que nuestra solución final es:

$$u(x) = x - x^2 + \dfrac{2}{x^2}$$

Answer 2

Una forma más fácil de ver la solución:

$$\frac{d}{dx} \frac{u}{x} = \frac{u'}{x}-\frac{u}{x^2}$$ $$\frac{d^2}{dx^2} \frac{u}{x} = \frac{u''}{x}-2 \frac{u'}{x^2} + 2 \frac{u}{x^3}$$

Así que... divide ambos lados de la EDO por $x^3$ y obtener

$$\frac{u''}{x}-2 \frac{u'}{x^2} + 2 \frac{u}{x^3} = \frac{d^2}{dx^2} \frac{u}{x} = \frac{24}{x^5}$$

Integrar dos veces $x$ :

$$\frac{d}{dx} \frac{u}{x} = -\frac{6}{x^4} + C_1$$ $$\frac{u}{x} = \frac{2}{x^3}+C_1 x+C_2 \implies u(x) = \frac{2}{x^2}+C_1 x^2+C_2 x$$

Aplica las condiciones iniciales:

$$u(1)=2 \implies C_1+C_2=0$$ $$u'(1) = -5 \implies 2 C_1+C_2 = -1 \implies C_1=-1 \quad C_2=1$$

Por lo tanto

$$u(x) = \frac{2}{x^2}-x^2+x$$