Álgebra de matrices idempotentes

Question

Sea $M$ ser un $n\times n$ matriz idempotente y $a,b$ son $n\times 1$ vectores con $a\le b\le 0$ . Entonces, $$a^\top Mb \ge 0 ?$$

Si es así, y si $a\ge b\ge 0$ ¿sigue siendo cierto el resultado anterior?

Gracias,

Answer 1

Dado que la no negatividad de entrada de los vectores es una propiedad que depende de la base, pero la idempontencia no, es poco probable que la conjetura planteada sea cierta. Contraejemplo: $$ \pmatrix{-1&-2}\pmatrix{1&-1\\ 0&0}\pmatrix{0\\ -1}=-1<0. $$

Edita. No ayuda incluso si usted requiere $M$ sea simétrica. Por ejemplo $$ \pmatrix{-2&-1}\left[\frac1{\sqrt{2}}\pmatrix{1&-1\\ -1&1}\right]\pmatrix{0\\ -1}=-\frac1{\sqrt{2}}<0. $$