¿Existe un subconjunto denso del plano real con todas las distancias entre pares racionales?

Question

Hace poco escuché las dos preguntas siguientes de Carl Mummert que me animó a difundirlos. Parte de su motivación para las preguntas era dar al tema de la teoría de modelos computables algo de tracción en espacios métricos completos, considerando los objetos contables como sustitutos de los espacios completos, en la medida en que son capaces de hacerlo.

Pregunta 1. ¿Existe un subconjunto contable $D$ del plano real $\mathbb{R}^2$ que es denso y tiene la propiedad de que la distancia euclidiana $d(x,y)$ es un número racional para todo $x,y\in D$ ?

El análogo unidimensional de esta pregunta tiene una fácil respuesta afirmativa, ya que los racionales $\mathbb{Q}$ se asienta densamente en $\mathbb{R}$ y la distancia entre dos racionales cualesquiera es racional.

Pregunta 2. Más en general, ¿tiene todo espacio métrico completo separable un conjunto denso contable $D$ con todas las distancias entre elementos de $D$ ¿Racional? [Edición: Tom Leinster ha señalado que si el espacio tiene sólo dos puntos, a distancia irracional, esto falla. Así que vamos a considerar el caso de los espacios conectados, generalizando la situación de la pregunta 1].

Si uno está dispuesto a cambiar a una métrica equivalente (dando lugar a la misma topología), entonces la respuesta a la pregunta 1 es Sí, ya que el plano racional $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ es denso en el plano real $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ y tiene todas las distancias racionales bajo la métrica de Manhattan, que da lugar a la misma topología. ¿Es también afirmativa la respuesta a la versión debilitada correspondiente de la pregunta 2, si se está dispuesto a cambiar la métrica?

Obsérvese que no se puede encontrar una métrica equivalente tal que todos distancias en $\mathbb{R}^2$ se vuelven racionales, ya que los valores omitidos en la función de distancia conducen a la desconexión en el espacio. Por eso, las preguntas sólo buscan un subconjunto denso con la condición racional.

La cuestión parece estar relacionada con la de si es posible encontrar grandes ordenaciones no lineales de puntos en el plano con todas las distancias entre pares enteras. Por ejemplo, es el caso de los números enteros $\mathbb{Z}$ sentado dentro $\mathbb{R}$ ¿pero se puede encontrar un análogo bidimensional de esto? Evidentemente, son posibles algunos arreglos pequeños (triángulos, etc.), pero tengo entendido que existe un límite superior finito para el tamaño de dichos arreglos. ¿Cuál es la afirmación exacta que se conoce al respecto?

Answer 1

La cuestión de si existe un conjunto denso infinito en el plano con distancias racionales fue planteada por Ulam en 1945 y rápidamente atrajo la atención de Erdos. Sigue siendo un sin resolver. Se pueden construir ejemplos de subconjuntos densos del círculo unitario con distancias racionales. En un preprint reciente http://arxiv.org/abs/0806.3095 Solymosi y de Zeeuw demuestran que la única algebraica en el plano que tienen subconjuntos densos con distancias racionales son las rectas y los círculos.

Answer 2

Permítanme responder a la pregunta 2.

Versión fuerte: no. Considere $[0,1]$ con distancia $d(x,y)=|x-y|^{1/3}$ . No existe ni siquiera un triple de puntos con distancias racionales - de lo contrario existiría una solución racional no nula de $x^3+y^3=z^3$ .

Versión débil: sí. Deja $(X,d)$ sea el espacio en cuestión. Construir conjuntos $S_1\subset S_2\subset\dots$ de forma que cada $S_k$ es un máximo $(2^{-k})$ -red separada en $X$ . Sea $S$ sea la unión de estas redes; entonces $S$ es contable y denso en $X$ .

Construya ahora el siguiente grafo métrico sobre $S$ . Para cada $k$ conecta cada par de puntos $x,y\in S_k$ por una arista cuya longitud es $(1-10^{-k})d(x,y)$ redondeado a un múltiplo de $10^{-2k}$ . La nueva distancia $d'$ en $S$ es la distancia de longitud inducida en este gráfico. Es fácil ver que las aristas fuera de $S_k$ no afectan a las distancias en $S_k$ por lo que todas estas distancias son racionales (múltiplos de $10^{-2k}$ ). La nueva métrica $d'$ en $S$ satisface $\frac12d\le d'\le d$ por lo que se completa $(S,d')$ es el mismo conjunto $X$ con una métrica equivalente.

ACTUALIZACIÓN . He aquí una descripción más detallada sin el término "grafo métrico".

Para cada $k$ defina una función $f_k:\mathbb R_+\to\mathbb R_+$ por $$ f_k(t) = 10^{-2k}\left\lfloor 10^{2k}(1-10^{-k})t \right\rfloor . $$ La forma real de $f_k$ no importa, sólo necesitamos las siguientes propiedades:

• $f_k$ sólo toma valores racionales con denominadores acotados (por $10^{-k}$ ).

• Sea $a_k$ y $b_k$ denotan el ínfimo y el sumo de $f_k(t)/t$ sobre el conjunto $\{t\ge 2^{-k}\}$ . Entonces $\frac12\le a_k\le b_k\le a_{k+1}\le 1$ para todos $k$ . (De hecho, tenemos $1-2\cdot10^k\le a_k\le b_k\le 1-10^k$ .)

Por cada $x,y\in S_k$ definir $\ell(x,y)=f_k(d(x,y))$ donde $k=k(x,y)$ es el número mínimo tal que $x,y\in S_k$ . Tenga en cuenta que $$ a_k d(x,y) \le \ell(x,y) \le b_k d(x,y) $$ para todos los pares de este tipo $x,y$ ya que $S_k$ es un $(2^{-k})$ -conjunto separado. Para una secuencia finita $x_0,x_1,\dots,x_n\in S$ defina $$ \ell(x_0,x_1,\dots,x_n) = \sum_{i=1}^n \ell(x_{i-1},x_i) . $$ Me referiré a esta expresión como $\ell$ - longitud de la secuencia $x_0,\dots,x_n$ . Defina $$ d'(x,y) = \inf\{ \ell(x_0,x_1,\dots,x_n) \} $$ donde el mínimo se toma sobre todas las secuencias finitas $x_0,x_1,\dots,x_n$ en $S$ tal que $x_0=x$ y $x_n=y$ . Claramente $d'$ es una métrica y $\frac12d\le d'\le d$ . Queda por demostrar que $d'$ sólo toma valores racionales.

Lema : Si $x,y\in S_k$ entonces $d'(x,y)$ es igual al ínfimo de $\ell$ -longitudes de secuencias contenidas en $S_k$ .

Prueba : Considere cualquier secuencia $x_0,\dots,x_n$ en $S$ tal que $x_0=x$ y $y_0=y$ . Elimine todos los puntos que no pertenezcan a $S_k$ de esta secuencia. Afirmo que el $\ell$ -se acortó. En efecto, basta con demostrar que $$ \ell(x_r,x_s) \le \ell(x_r,x_{r+1},\dots,x_{s-1},x_s) $$ si $x_r$ y $x_s$ están en $S_k$ y los puntos intermedios no. Por la segunda propiedad de las funciones $f_k$ el lado izquierdo está acotado anteriormente por $b_k d(x_r,x_s)$ y cada término $\ell(x_i,x_{i+1})$ en el lado derecho está limitada por debajo por $b_k d(x_i,x_{i+1})$ . Por lo tanto, basta con demostrar que $$ b_k d(x_r,x_s) \le b_k\sum_{i=r}^{s-1} d(x_i,x_{i+1}), $$ y esto es una desigualdad triangular multiplicada por $b_k$ . Q.E.D.

Todos $\ell$ -longitudes de secuencias en $S_k$ son múltiplos de algún número racional fijo (a saber $10^{-2k}$ ). Por lo tanto $d'(x,y)$ es múltiplo del mismo número si $x,y\in S_k$ . Por lo tanto, todos los valores de $d'$ son racionales.

Answer 3

Respecto a la pregunta del último párrafo, no se pueden encontrar infinitos puntos no colineales, esa es la Teorema de Erdős-Anning . Es uno de esos maravillosos resultados en los que la revisión matemática contiene toda la prueba...

Sin embargo, es posible hallar cualquier número finito, por ejemplo, encontrando un número entero que se pueda escribir como la diferencia de dos cuadrados de muchas maneras y dibujando los triángulos rectángulos correspondientes uno encima del otro. Sin embargo, esto no ayuda en absoluto con las preguntas anteriores. Una pregunta complementaria interesante es encontrar puntos que no tengan 3 en una recta y 4 en una circunferencia (sección D20 de Guy's). Problemas sin resolver en Teoría de Números - aparentemente no se conoce ningún conjunto de 7 puntos.

Edita: Cambia ese 7 por un 8, véase la respuesta de Tony Huynh.

Answer 4

Esto responde en cierto modo a la pregunta del último párrafo, pero en realidad es un poco tangencial. Espero que siga siendo de interés.

Es bien sabido que todo grafo plano tiene una incrustación tal que cada arista es un segmento rectilíneo. Por tanto, es natural preguntarse si todo grafo plano tiene una incrustación en $\mathbb{R}^2$ tal que la longitud de cada borde es integral. Esto fue conjeturado por primera vez por Kemnitz y Harborth. Geelen, Kuo y McKinnon lo demostraron para grafos cúbicos planares. aquí .

Edita: Después de leer el documento un poco más detenidamente, veo que está más relacionado con la cuestión que nos ocupa de lo que pensaba en un principio. Al parecer, Erdos planteó la siguiente pregunta:

¿Cuántos puntos podemos encontrar en el plano con pares racionales que no haya tres en una recta ni cuatro en una circunferencia?

Kriesel y Kurz han encontrado una colección de siete puntos de este tipo, pero aún no se sabe si existe una colección de ocho.

También parece interesante el teorema 2.1 del artículo, demostrado por Berry.

Teorema. Sea $A,B,C$ sean puntos no colineales de $\mathbb{R}^2$ tal que $d(A,B), d(A,C)^2$ y $d(B,C)^2$ son racionales. Entonces el conjunto de puntos de $\mathbb{R}^2$ que están a una distancia racional de cada de $A,B$ y $C$ forma un subconjunto denso de $\mathbb{R}^2$ .

El teorema 2.2 del mismo artículo también parece bastante pertinente.

Answer 5

Victor Klee y Stan Wagon escriben sobre este y otros divertidos problemas en su libro: Viejos y nuevos problemas sin resolver de geometría plana y teoría de números