¿Cuáles son los subgrupos normales de un producto directo?

Question

Sea $N$ sea un subgrupo normal de $G \times H$ y que $\pi_1: G \times H \to G$ y $\pi_2: G \times H \to H$ sean las proyecciones canónicas. Entonces $\pi_1(N)$ es normal en $G$ y $\pi_2(N)$ es normal en $H$ . ¿Qué más podemos decir? Sé que no es cierto, en general, que $N \simeq \pi_1(N) \times \pi_2(N)$ .

Me interesa especialmente el caso en que $G$ y $H$ son simples. En ese caso, $N \simeq \pi_1(N) \times \pi_2(N)$ salvo, posiblemente, en el caso de que $\pi_1(N) = G$ y $\pi_2(N) = H$ . En ese caso, ¿qué sabemos?

Answer 1

Véase Lema de Goursat .

Answer 2

Si $G$ y $H$ son grupos simples no abelianos y $N$ es un subgrupo normal de $G×H$ entonces $N$ es igual (no sólo isomorfo) a $1×1$ , $1×H$ , $G×1$ o $G×H$ . Si $G$ y $H$ son grupos simples pero no isomorfos, entonces ocurre lo mismo. Si $G$ y $H$ son grupos abelianos simples isomorfos, entonces $G×H$ es un espacio vectorial bidimensional sobre algún $\Bbb Z/p\Bbb Z$ y así lo ha hecho $1 + (p+1) + 1$ subgrupos normales, $1$ de dimensión $0$ , $p+1$ de dimensión $1$ y $1$ de dimensión $2$ . Sólo en el último caso puede ocurrir que $N$ no es precisamente igual a (y tampoco isomorfo a) $π_1(N)×π_2(N)$ pero, por supuesto, esto ocurre por $p-1$ de la $1$ -subespacios dimensionales, los que tienen proyección no trivial tanto sobre el $x$ y $y$ ejes.

Answer 3

Sea $N$ ser normal en $G\times H$ . Para $n=(n_1, n_2) \in N$ y $(g, 1) \in G\times H$ sigue $([n_1, g], 1) = (n_1^{-1}n_1^g, 1) = n^{-1}\cdot n^{(g, 1)} \in N$ (tomando las notaciones utilizadas en teoría de grupos: $n^g = g^{-1}ng$ etc.), es decir $[\pi_1(N), G]\times 1 \le N$ (donde $[A, B]$ denota el subgrupo generado por los conmutadores $[a, b]$ con $a \in A, b\in B$ ). También $1\times[\pi_2(N), H] \le N$ Por lo tanto $[\pi_1(N), G]\times[\pi_2(N), H] \le N$ .

En $[\pi_1(N), G]$ es normal en $G$ se puede deducir fácilmente que $G, H$ simple los casos descritos por Jack Schmidt (y también lo que ocurre en el caso perdido de que uno de los dos grupos sea abeliano pero el otro no).

Answer 4

El siguiente corolario procede de Crecimiento normal de subgrupos de grupos lineales: el $(G_2, F_4, E_8)$ -Teorema por Michael Larsen y Alex Lubotzky.

Corolario 1.4 : Sea $G = A \times B$ sea el producto de dos grupos. Si para cada subgrupo normal (de índice finito) $M \lhd A$ , $Z(A/M) = \{ 1 \}$ entonces todo subgrupo normal (de índice finito) $N \lhd G$ es de la forma $N = (N \cap A) \times (N \cap B)$ .

Answer 5

Sin duda, pueden darse otras situaciones, incluso en el caso simple. Por ejemplo si $G$ y $H$ son isomorfas, la diagonal se traslada a cada factor.