De la segunda edición de Unsolved Problems in Number Theory por Richard K. Guy, sección D1, Euler conjeturó que su ecuación debería ser imposible para $n \geq 4.$ Para $n=4,$ el primer contraejemplo fue de Noam Elkies, una solución paramétrica fue dada por Dem'janenko, y tu solución de arriba fue encontrada por Roger Frye. No hay referencia explícita para Frye...Hay una tercera edición, ahí empieza en la página 209. No creo que nadie tenga soluciones para $n>4.$
En concreto, Euler pensaba que se necesitaban cuatro cuartas potencias para sumar otra cuarta potencia, cinco quintas potencias para sumar otra quinta potencia, y así sucesivamente.
OK, tenemos $$ 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5, $$ por Lander y Parkin (1966). No creo que tres quintas potencias funcionen. Puedes probar con seis, cinco o cuatro sextas potencias, o con siete, seis o cinco séptimas potencias si quieres seguir con exponentes primos. Tenga en cuenta que, por el pequeño teorema de Fermat, para sextas potencias , todos menos uno de los sumandos tendrá que ser divisible por 7. Es decir, si algunos $a \neq 0 \pmod 7$ entonces $a^6 \equiv 1 \pmod 7.$ Tienes menos de siete sumandos, por lo que el lado izquierdo no será divisible por 7, por lo que el lado derecho será exactamente $1 \pmod 7.$ Algo para ahorrar tiempo. Para comparar, mira la solución en la pregunta original para $n=4,$ dos de cada tres números de la izquierda son divisibles por 5.
Bien, a partir de la segunda edición (1994) no se conocían soluciones para $n$ $n$ potencias que se suman $n$ ª potencia para $n \geq 6.$ Así, incluso lo que Euler había planteado como problema no tenía soluciones conocidas. Por supuesto, los ordenadores son mucho más rápidos ahora...
