¿Cuál es la relación entre la afirmación "Z causa tanto X como Y" y "X e Y son independientes dado Z"?

Question

Supongamos que tengo dos declaraciones:

Declaración 1 : La variable aleatoria Z es la causa común de las variables aleatorias X e Y (Z causa tanto X como Y)

Declaración 2 : Las variables aleatorias X e Y son (condicionalmente) independientes dado Z.

¿Cuál es la relación entre el enunciado 1 y el enunciado 2? ¿Implica el enunciado 1 al enunciado 2, o implica el enunciado 2 al enunciado 1, o tienen otras relaciones?

Ejemplo: Z podría ser el grado(o edad) de un alumno de primaria, X podría ser su altura, Y podría ser su habilidad matemática. Muchas gracias.

Answer 1

La afirmación 1 es una afirmación científica más que una relación matemática. La idea de que una variable aleatoria "causa" otra no tiene una definición matemática estricta, sino que el papel del matemático o del estadístico consiste en plantear un modelo matemático que capte la relación de forma pertinente para un problema científico concreto. Por ejemplo, un matemático podría suponer que X e Y tienen relaciones funcionales con Z, pero no entre sí, y eso captaría la idea científica de "causalidad".

La afirmación 2 es una afirmación matemática, y es una forma sensata y útil de traducir la primera afirmación en términos matemáticos. Es una afirmación muy fuerte porque implica que Z tiene en cuenta todas las dependencias posibles entre X e Y. No puede haber otras causas comunes de X e Y que no estén mediadas por Z o correlacionadas con Z. Por otro lado, el enunciado 2 es más general que el enunciado 1 en el sentido de que X e Y podrían ser condicionalmente independientes dado Z sin ser funciones directas de Z.