Cardinalidad de la curva elíptica mediante el límite de Hasse

Question

Lamentablemente, no recibimos soluciones para los ejercicios, por lo que me gustaría comprobar la validez de mi argumentación.

Dada la curva elíptica E: $y^2 = x^3 + x + 1$ mod 11, calcula el orden de la curva elíptica utilizando el límite de Hasse.

Por suposición, sabemos que existe un punto P en E de orden 7. Ahora usando el límite de Hasse, se obtiene que: $6 \leq |E(\mathbb{F}_{11})| \leq 18$ . Si utilizamos ahora que hay $d_1, d_2$ s.t. $d_1 | d_2$ y $E(\mathbb{F}_{11}) \cong \mathbb{Z}_{d_1} \times \mathbb{Z}_{d_2}$ . Tengo las posibilidades de $(d_1,d_2)$ pares: (1,7), (2,7), (1,14). Pero como 0 no es un residuo cuadrático mod 11, cada coordenada x válida implica dos puntos finitos en E, es decir, la cardinalidad de E es impar. Por tanto, $|E(\mathbb{F}_{11})| = 7$ .

Agradezco cualquier comentario.

Answer 1

El límite de Hasse con un elemento dado de orden $7$ indica que se tiene el orden 7 o el 14. 14 significa que tenemos un elemento de orden 2, es decir $P + P = \mathcal{O}$ es decir $P = - P$ y esto implica $P.y = 0$ .

Para ver la existencia de tal elemento, necesitamos encontrar las raíces a $f(x) = x^3 + x + 1 \bmod 11$ . $x =2$ es la única raíz de $f(x)$ * por lo tanto $P=(2,0)$ está en esta curva. Como resultado tenemos orden 14 no 7.

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Código SageMath para verificar;

p = 11
a = 1
b = 1

K = GF(p)
E = EllipticCurve(K,[a,b])
print(E)
print("cardinality = ", E.cardinality())

for P in E:
    print(P, P.order())

E.plot()

y salida

Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x + 1 over Finite Field of size 11
cardinality =  14
(0 : 1 : 0) 1
(0 : 1 : 1) 7
(0 : 10 : 1) 7
(1 : 5 : 1) 14
(1 : 6 : 1) 14
(2 : 0 : 1) 2
(3 : 3 : 1) 7
(3 : 8 : 1) 7
(4 : 5 : 1) 14
(4 : 6 : 1) 14
(6 : 5 : 1) 7
(6 : 6 : 1) 7
(8 : 2 : 1) 14
(8 : 9 : 1) 14

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* Se puede intentar factorizar, probar todos los valores o utilizar SageMath

x = PolynomialRing(GF(11), 'x').gen()
f = x^3 +x + 1
f.roots()

Que produce [(2, 1)] indicando 2 es la única raíz con multiplicidad 1.