¿Hallar el volumen del sólido de revolución?

Question

Alguien me puede ayudar a encontrar el volumen de un sólido de revolución de f(x) alrededor del eje x para el intervalo [1,6]. Se supone que se puede hacer sin necesidad de cálculo, pero estoy teniendo problemas para averiguarlo.

$f(x) = \begin{cases} 1 & 1 \leq x< 2\\ 1/2 & 2 \leq x< 3\\ . & .\\ . & .\\ 1/n & n\leq x< n+1\\ \end{cases}$

Sé que el volumen se encontraría así $\pi$ $\int_{1}^{6}(f(x))^2dx$ pero no estoy seguro de cómo hacerlo con esta función.

Se agradece cualquier ayuda. Gracias

Answer 1

$f(x)$ es constante en $n$ intervalos. Por lo tanto, $\int^b_a (f(x))^2dx=(f(x))^2(b-a)$ . Por lo tanto, el volumen es simplemente $$\pi\left(1^2(2-1)+2^2(3-2)+\cdots+\dfrac{1}{n^2}(n+1-n)\right)=\pi\left(1^2+2^2+\cdots+\dfrac{1}{n^2}\right)$$ Aunque creo que el $2$ en realidad debería ser $\dfrac{1}{2}$ .