¿Problemas de cálculo interesantes de dificultad media?

Question

Me gustaría conocer fuentes y ejemplos de buenos problemas de "reto" para alumnos que hayan estudiado precálculo y algo de cálculo. (diferenciación y los fundamentos de la integración.) Los temas podrían estar relacionados con cosas tales como:

1. Serie Taylor.
2. Regla del producto, regla del cociente, regla de la cadena.
3. Límites simples.
4. Pruebas Delta Epsilon.
5. Pruebas de inducción para la suma de los primeros n, enteros, cuadrados, etc.
6. Integración por sustitución.
7. Otros temas...

Lo que he encontrado hasta ahora son demasiados problemas demasiado difíciles. El problema puede tener un "truco", pero tiene que ser algo que un novato pueda hacer.

Aquí hay un problema que me pareció que estaba justo en el nivel adecuado:

Si $f(x) = \frac{x}{x+\frac{x}{x+ \frac{x}{x+ \vdots}}}$ encuentra $f'(x)$ *

*Sinceramente, este problema me pone un poco nervioso. Aún así, me gusta.

Answer 1

Si $C_0 + C_1/2 + \ldots + C_n/(n+1) = 0$ donde cada $C_i \in \mathbb{R}$ demuestre que la ecuación $C_0 + C_1x + \ldots + C_nx^n = 0$ tiene al menos una raíz real entre 0 y 1. (Rudin, Cap 5 Ejercicio 4)

Si $|f(x)| \leq |x|^2$ para todos $x \in \mathbb{R}$ demuestre que $f$ es diferenciable en $x = 0$ . (¿Spivak?) (Vale, este es más fácil que "medio" quizás, pero me gusta de todos modos. Ilustra muy bien que las condiciones de crecimiento pueden influir en la suavidad).

Answer 2

En Problemas del Estado de Missouri suelen ser muy buenos

Answer 3

Ya que conocen la integración "básica":

Hallar la parte entera de

$$\sum_{n=1}^{10000} \dfrac{1}{\sqrt[4]{n}}$$

Answer 4

Me gusta este problema, y a mis alumnos parece gustarles también. Técnicamente, deberían usar la densidad de los racionales, pero se puede eludir (al menos la solución que se me ocurre).

Encontrar todas las funciones continuas $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $f(x+y)=f(x)+f(y)$ .

y afines:

Demostrar que una función es lineal si $f(x)=f(x-a)+f(x-b)-f(x+a+b)$ .

Answer 5

Otro que es un poco tonto, pero un poco divertido es

Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ sea una función tal que

$\int_0^{\pi/4}f\left(x\right)dx=\int_0^{\pi/8}f\left(x\right)dx=\int_0^{\pi/16}f\left(x\right)dx=\int_0^{\pi/32}f\left(x\right)dx=\dots$

Demuestra que $f\left(\sqrt[3]{t}e^t\right)=-\left(3t\right)f\left(\sqrt[3]{t}e^t\right)$ para infinitas $t$ .