Normalizador de $S_n$ en $GL_n(K)$

Question

En los ejercicios sobre producto directo de grupos de Dummit & Foote, demostré que el grupo simétrico $S_n$ es isomorfo a un subgrupo de $GL_n(K)$ llamadas matrices de permutación con un 1 en cada fila y en cada columna.

Mi pregunta es cómo puedo encontrar el normalizador de este subgrupo en $GL_n(K)$ ?

Answer 1

Edita: He revisado la respuesta para hacerla más elemental y para corregir el error señalado por YACP (gracias).

Supongamos que $X\in N_{GL_n(K)}(S_n)$ . Entonces, para cada matriz de permutación $P\in S_n$ tenemos $XPX^{-1}\in S_n$ por lo que la conjugación por $X$ es un automorfismo de $S_n$ . Si $n\ne 2, 6$ entonces, como ha señalado YACP, debe ser un automorfismo interno, es decir, tenemos algún $P'\in S_n$ tal que para cada $P\in S_n$ , $XPX^{-1}=P'P{P'}^{-1}$ . Así $(X^{-1}P')P(X^{-1}P')^{-1}=P$ Así que $X^{-1}P'\in C_{GL_n(K)}(S_n)$ (el centralizador de $S_n$ ). Así, $X\in C_{GL_n(K)}(S_n)\cdot S_n$ así que todo lo que tenemos que hacer es encontrar $C_{GL_n(K)}(S_n)$ como $C_{GL_n(K)}(S_n)\cdot S_n\subseteq N_{GL_n(K)}(S_n)$ se cumple trivialmente.

Sea $\mathcal C$ denota todas las matrices (incluidas las no invertibles) $X$ tal que $PXP^{-1}=X$ para todos $P\in S_n$ . Obsérvese que la conjugación es lineal, es decir $A(X+Y)A^{-1}=AXA^{-1}+AYA^{-1}$ para cualquier $A,X,Y\in M_{n\times n}(K)$ Así que $\mathcal C$ es cerrado por adición. La conjugación también respeta la multiplicación escalar, es decir $AcXA^{-1}=cAXA^{-1}$ Así que $\mathcal C$ es cerrado bajo multiplicación escalar. Recordemos que $M_{n\times n}(K)$ es un espacio vectorial sobre $K$ Esto hace que $\mathcal C$ un subespacio de $M_{n\times n}$ . El uso de $\mathcal C$ es que $C_{GL_n(K)}(S_n)=\mathcal C\cap GL_n(K)$ pero a diferencia de $C_{GL_n(K)}(S_n)$ es un subespacio vectorial, y es agradable trabajar con subespacios vectoriales.

Es fácil ver que $\mathcal C$ contiene matrices diagonales $D$ con diagonal constante, así como todas las matrices $M$ de forma que las entradas $m_{ij}$ son iguales para todos $i,j$ . Desde $\mathcal C$ es un subespacio vectorial, esto significa que contiene también todas las sumas de estas matrices. Queremos demostrar que cada matriz en $\mathcal C$ puede escribirse como $D+M$ donde $D$ y $M$ son como los anteriores. Si $X\in \mathcal C$ entonces podemos restar una matriz diagonal $D$ y una matriz $M$ del segundo tipo para que las entradas superior izquierda y derecha sean $0$ : $$X-D-M=\begin{pmatrix} 0 & x_{12} & \cdots & x_{1n-1} & 0\\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2n-1} & x_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nn-1} & x_{nn}\\ \end{pmatrix}$$ Llama a esta matriz $X'$ deseamos mostrar $X'=0$ . Intercambiar la segunda y la última columna debe ser lo mismo que intercambiar la segunda y la última fila, y puesto que la primera acción cambia $x_{12}$ y $x_{1n}$ mientras que la segunda deja la primera fila sin cambios tenemos $x_{12}=x_{1n}=0$ . Continuando de esta manera vemos que toda la primera fila es $0$ . Intercambiar la primera y la segunda fila es lo mismo que intercambiar la primera y la segunda columna, por lo que toda la segunda fila debe ser $0$ también. Continuando de esta manera obtenemos que $X'=0$ como desee. Así $\mathcal C$ es el conjunto de matrices de la forma $D+M$ es decir, con $a$ en la diagonal y $b$ fuera de la diagonal.

$C_{GL_n(K)}(S_n)$ es el conjunto de tales matrices con determinante distinto de cero. Sea $X\in \mathcal C$ tienen entradas $a$ en la diagonal y $b$ fuera de él. Claramente si $a=b$ entonces el determinante es $0$ Supongamos $a\ne b$ . Entonces podemos escribir $X=(a-b)(I_n+cr)$ donde $c$ es una columna formada íntegramente por $1$ y $r$ es una fila formada íntegramente por entradas $\frac{b}{a-b}$ . Por Teorema del determinante de Sylvester el determinante de esto es $(a-b)^n(1+rc)$ y $rc=\frac{nb}{a-b}$ lo que nos da $\det(X)=(a-b)^{n-1}(a-b+nb)$ . Así, para cualquier $X\in \mathcal C$ , $\det(X)=0$ si $a=b$ o $a=(1-n)b$ .

Juntando todo esto, obtenemos que $$N_{GL_n(K)}(S_n)=\left\{\begin{pmatrix} a & b & \cdots & b \\ b & a & \ddots &\vdots \\ \vdots &\ddots & \ddots & b\\ b & \cdots & b & a\\ \end{pmatrix}P: a\neq b, a\neq (1-n)b, P\in S_n \right\}$$