Este post está relacionado con otro anterior de SE Si una cuerda de 1 metro . relativa a la longitud media de un segmento más pequeño.
Una cuerda de 1 m se divide en tres trozos por dos puntos aleatorios. Halla la longitud media del segmento mayor. Mi respuesta es 11/18. He aquí cómo lo hago:
Aquí tenemos dos variables aleatorias independientes $X,Y$ ambos uniformes en $[0,1]$ . Sea $A=\min (X,Y), B=\max (X,Y)$ y $C=\max (A, 1-B, B-A)$ . Primero queremos encontrar la función de densidad de probabilidad de probabilidad $f_C(a)$ de $C$ . Sea $F_C(a)$ sea la función de distribución acumulativa. Entonces $$ F_C(a) = P(C\le a)=P(A\le a, 1-B\le a, B-A\le a).$$ Reescribiendo esta probabilidad como área en la unidad cuadrada, obtengo $$F_C(a)=\left\{\begin{array}{ll} (3a-1)^2 & \frac{1}{3}\le a\le \frac{1}{2}\\ 1-3(1-a)^2 & \frac{1}{2}\le a\le 1\end{array}\right.$$ de lo que se deduce que $$f_C(a)=\left\{\begin{array}{ll} 6(3a-1) & \frac{1}{3}\le a\le \frac{1}{2}\\ 6(1-a) & \frac{1}{2}\le a\le 1\end{array}\right.$$ Por lo tanto el valor esperado de $C$ es $$\int_{1/3} ^{1/2}6a(3a-1) da+\int_{1/2} ^{1}6a(1-a) da= \frac{11}{18}.$$
Mis preguntas son:
(A) ¿Hay alguna forma "inteligente" de averiguar este número 11/18?
(B) ¿Cuál es la respuesta si la cuerda se divide en $n>3$ ¿Segmentos?
