Vecindad abierta común como preimagen de vecindad abierta bajo acción de grupo continua

Question

Sea G un grupo topológico de Hausdorff separable y metrisable que actúa sobre un espacio compacto de Hausdorff X.

Sea $f: X \rightarrow \mathbb{C}$ sea una función continua de valor complejo sobre X. Intento razonar por qué existe una vecindad de la identidad $V\ni 1_G$ tal que $\forall g \in V, \ |f(g\cdot x)- f(x)|<\epsilon \ \forall x \in X$ .

Es obvio por definición que tenemos una vecindad tan abierta $V_x \forall x\in X$ . Sin embargo no estoy del todo seguro porque tenemos uno que funciona $\forall x$ .

Creo que tiene que ver con la compacidad. Pero aquí tendríamos que estar tomando la intersección de barrios abiertos en lugar de cerrados, así que no veo cómo funcionaría esto.

Answer 1

Supongamos, por el contrario, que existe $\epsilon>0$ una secuencia $\{g_n\}$ de elementos de $G$ convergente a $1_G$ y una secuencia $\{x_n\}$ de puntos de $X$ tal que $|f(g_n\cdot x_n)-f(x_n)|\ge 2\epsilon$ para cada $n$ . Dado que el espacio $X$ es compacta, la secuencia $\{x_n\}$ tiene un punto de agrupación $x^*$ . Dado que la función $f$ es continua, existe una vecindad $U$ del punto $x^*$ tal que $|f(x’)-f(x^*)|<\epsilon$ para cada $x’\in U$ . Ahora suponemos que la acción $G\times X:\to X$ , $(g,x)\mapsto g(x)$ es un mapa continuo. Por lo tanto existe una vecindad $V$ de $1_G$ y un barrio $W\subset U$ de $x$ tal que $\{g\cdot x: g\in V, x\in W\}\subset U$ . Dado que la secuencia $\{g_n\}$ converge a $1_G$ existe $N$ tal que $g_n\in V$ para cada $n>N$ . Desde $x^*$ es un punto de agrupación de la secuencia $\{x_n\}$ hay $n>N$ tal que $x_n\in W$ . Entonces $$|f(g_n\cdot x_n)-f(x_n)|\le |f(g_n\cdot x_n)-f(x^*)|+|f(x^*)-f(x_n)|\le\epsilon+\epsilon=2\epsilon,$$ una contradicción.