En el capítulo 0 de Álgebra se da la definición de una acción de grupo sobre un conjunto como: Una acción de un grupo $G$ en un conjunto $A$ es una función de conjunto $P:G\times A\rightarrow{A}$ tal que $P(e_G,a)=a$ y $P(gh,a)=P(g,P(h,a))$ $\forall g,h \in G\,\forall a\in A$ la primera condición tiene sentido, pero no estoy seguro del propósito de la segunda condición, parece bastante extraño. Mi pensamiento es que de alguna manera preserva algún aspecto de $G$ pero no estoy seguro. Si alguien pudiera explicar el razonamiento o la intuición que hay detrás del 2º requisito sería estupendo.
Respuestas
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Supongo que su segunda condición quiere decir $P(g,P(h,a))=P(gh,a)$ . Se trata de decir que la acción del grupo es "asociativa" en algún sentido. Es mucho más fácil de ver si escribimos $g\cdot a$ para $P(g,a)$ . Entonces las condiciones son $e_G\cdot a=a$ y $g\cdot(h\cdot a)=(gh)\cdot a$ para todos $g,h\in G$ y $a\in A$ . Espero que esto aclare la intuición.
Fat Mind
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Mi filosofía es que los grupos son a las acciones de grupo lo que la energía potencial es a la energía cinética. Tal vez recuerdes haber leído que originalmente, históricamente, los grupos se concibieron por primera vez como conjuntos de funciones que actuó sobre alguna cosa (puntos en el espacio, números en un sistema numérico, lo que sea). El término más preciso para esto es que un grupo es un conjunto de simetrías . Así, siempre que un objeto presente simetría, es decir, si existen transformaciones que la conserven, estas transformaciones pueden componerse e invertirse. De ahí viene la idea de grupo. Esta idea fue luego abstraída en sólo un conjunto con una operación binaria asociativa que tiene inversos e identidad.
Las acciones de grupo recuperan la naturaleza de "función" de los elementos de grupo; pueden salir a cazar por el mundo y hacer cosas a otras cosas. Actúan como funciones sobre un conjunto o simetrías de un objeto. Como tales, deberíamos poder componer e invertir con ellas. (No puede haber inversión y composición a menos que también haya una transformación que no haga nada: la identidad).
Existen dos definiciones estándar de las acciones de grupo. Una es como homomorfismo $G\to{\rm Aut}(X)$ donde en la categoría de conjuntos ${\rm Aut}(X)$ sólo significa las permutaciones de $X$ . Esto codifica el hecho de que cada elemento de $G$ actúa como una permutación de $X$ y que la operación en $G$ corresponde a la composición de funciones en ${\rm Aut}(X)$ . Uno podría sospechar que podríamos decir $G\subseteq{\rm Aut}(X)$ es un subgrupo de permutaciones, pero esto no capta totalmente la idea: las acciones de grupo no tienen por qué ser fiel y así diferentes elementos del grupo pueden comportarse como la misma función en $X$ (es decir $G\to{\rm Aut}(X)$ no es un homomorfismo inyectivo).
La otra definición de una acción de grupo es como un mapa $G\times X\to X$ que satisfacen un conjunto determinado de propiedades. El mapa $G\times X\to X$ debe considerarse como el mapa de "evaluación" en el que $(g,x)$ se envía a $g(x)$ (aquí tratamos $g\in G$ en función de $X$ ). Así que queremos que nuestras funciones satisfagan la "asociatividad", es decir. $f(g(x))=(f\circ g)(x)$ ; esto es lo que significa la condición.
Tomislav Ostojich
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...¿sabes qué curry es en informática?
Currying. Para cualquier función $f$ de la forma $A \times B \rightarrow C$ existe una función equivalente que devuelve una función $f'$ de la forma $A \rightarrow (B \rightarrow C)$ . Lo contrario también es cierto: para cualquier función $g$ de la forma $D \rightarrow (E \rightarrow F)$ existe una función $g'$ de la forma $D \times E \rightarrow F$ .
Para un grupo $G$ y el conjunto de biyecciones de un conjunto $X$ escrito como $\mathrm{Sym}(X)$ un homomorfismo $\varphi : G \rightarrow \mathrm{Sym}(X)$ es realmente una función de la forma $\varphi : G \rightarrow (X \rightarrow X)$ . Porque $\varphi$ devuelve una función, $\varphi(g)$ ¡no es una expresión completa! Necesita escribir $\varphi(g)(x)$ para obtener una expresión completa. Como a los matemáticos no les gusta pensar en términos de una secuencia de funciones, decidieron descifrar el homomorfismo de una acción de grupo en un operador.
Una acción de grupo es un operador $\diamondsuit : G \times X \rightarrow X$ que actúa como un homomorfismo.
Pero, ¿qué axiomas necesitamos para especificar "actúa como un homomorfismo"?
Si $\diamondsuit$ va a actuar como un homomorfismo, entonces para cualquier elemento $g \in G$ Será mejor que nos aseguremos $x \mapsto g \diamondsuit x$ actúa como un homomorfismo. Por comodidad, llamaremos al mapa $x \mapsto g \diamondsuit x$ sólo $f_g$ ... para indicar que se trata del mapa generado por el elemento $g$ . Una $g'$ va a producir un mapa diferente $f_{g'}$ que se vería como $x \mapsto g'\diamondsuit x$ .
Primera propiedad obvia: más vale que un homomorfismo lleve el elemento identidad a la función identidad. Así que el mapa $(x \mapsto e \diamondsuit x) = x$ . Así tenemos nuestro primer axioma.
Una acción de grupo es un operador $\diamondsuit : G \times X \rightarrow X$ tal que
$e \diamondsuit x = x$
...y algo más.
¿Cuál es la segunda propiedad de homomorfismo? Que el producto de grupo se transfiere a la composición de función. Así que $f_g \circ f_h = f_{gh}$ Dado que anteriormente definimos nuestra notación de forma que $f_g = g \diamondsuit x$ , $f_h = h \diamondsuit x$ , $f_{gh} = gh \diamondsuit x$ ...
Una acción de grupo es un operador $\diamondsuit : G \times X \rightarrow X$ tal que
$e \diamondsuit x = x$
$g \diamondsuit (h \diamondsuit x) = gh \diamondsuit x$
¡Tadaaah! Por eso definimos una acción de grupo como lo hacemos. El fin.
