¿Cómo puede haber alternativas para los fundamentos de las matemáticas?

Question

¿Cómo pueden la teoría de conjuntos y la teoría de categorías ser ambas teorías plausibles para los fundamentos de las matemáticas? Si estas dos teorías no son matemáticamente equivalentes, ¿no significa que el resto de las matemáticas, cuando se toman exclusivamente con cualquiera de estas dos teorías como fundamento, serán distintas; es decir, a menos que estas dos teorías sean, de alguna manera, equivalentes.

Gracias

Answer 1

Hay dos formas de responder a su pregunta:

• ¿qué significa fundación? Los dos ámbitos abordan la "fundamentación" desde perspectivas diferentes. La teoría de conjuntos (y la lógica) son intentos de fundamentar el conocimiento matemático sobre cómo podemos conocer las verdades matemáticas: ¿cómo se sabe que un teorema es "verdadero" (y qué significa verdadero)? (La teoría de conjuntos lo hace permitiendo una traslación de tu rama favorita de las matemáticas a los conjuntos, y formalizando después las operaciones de inferencia sólo sobre los objetos de los conjuntos; todo puede convertirse en un conjunto).

La teoría de categorías es un fundamento de -lo- que sabemos sobre las matemáticas: qué similitudes/comunalidades hay entre áreas dispares de las matemáticas. Coge tu rama favorita de las matemáticas, define algunos objetos y algunas funciones adecuadas y obtendrás todo tipo de teoremas gratis (todo se puede ver a través de la lente de la "categoría". todo es una categoría).

Por supuesto, se puede utilizar uno de ellos para el otro (dar un fundamento -lógico- de la teoría de categorías, por ejemplo, los objetos y morfismos se implementan con conjuntos; dar un fundamento -categórico- para la teoría/lógica de conjuntos, por ejemplo, se puede tener una categoría de 'conjunto' con 'funciones' como los morfismos).

• Ciertamente puede haber más de un fundamento de la verdad (intuicionista, constructivista, permitiendo diferentes conjuntos de axiomas, diferentes reglas de inferencia, ZFC, NBG, etc.) cada uno permitiendo características deseadas y rechazando características no deseadas. Y ha habido muchos fundamentos de unificación (la teoría de conjuntos puede ser vista como uno (sólo conjuntos como las cosas que pueden ser manipuladas), teoría de grupos, álgebra como un todo (manipulación simbólica), sólo la teoría de categorías es la última y mejor unificación.

Answer 2

¡Estoy aprendiendo algo de esto ahora mismo! Por lo que sé, ya se necesita bastante teoría de conjuntos para decir topos . Un topos (elemental) es una categoría cerrada bajo muchas construcciones comunes.

Estos topos artilugios también tienen una lógica interna (normalmente intuicionista), y dado por ejemplo un objeto número natural se pueden realizar muchas de las construcciones bien conocidas de las matemáticas, como las de los números reales (aquí los reales de Cauchy y Dedekind pueden ser diferentes). ¡Esto es lo que hacemos en el topos de conjuntos!

Un topos elemental $E$ por cierto, es un categoría cartesiana cerrada (lo que significa que tiene un objeto terminal $1$ , productos, exponenciación y una adjunción entre ambos, es decir $\hom_E(X\times Y,Z)\cong\hom_E(X,Z^Y)$ ) con un clasificador de subobjetos $\Omega$ junto con un morfismo $\top:1\to\Omega$ llamado verdadero tal que cualquier monic $f:Y\to X$ es el pullback de un morfismo único $\chi(f):Y\to\Omega$ . También requerimos retrocesos a lo largo de $\top$ de existir. De ello se deduce que $E$ tiene límites y colímites finitos, y que el functor subobjeto $Sub:E\to Set$ está representado por $\Omega$ (es decir $Sub(-)\cong\hom(-,\Omega)$ ).