Teorema del valor intermedio-Problema

Question

Pregunta: Que $f:[a,b]\rightarrow[a,b]$ (es decir $a\leq f(x) \leq b$ para todos $x$ $\in$ $[a,b]$ ) sea una función continua. Demostrar que existe alguna $x$ $\in$ $[a,b]$ con $f(x)=x$ . (Tal $x$ con $f(x)=x$ se denomina punto fijo de $f$ .)

Answer 1

Si

$f(a) = a \tag 1$

o

$f(b) = b, \tag 2$

hemos terminado; así que asumamos

$f(a) > a, \; f(b) < b; \tag 3$

configure

$g(x) = f(x) - x; \tag 4$

puis $g(x)$ es continua y

$g(a) = f(a) - a > 0, \tag 5$

$g(b) = f(b) - b < 0; \tag 6$

el teorema del valor intermedio implica

$\exists c \in (a, b), \; g(c) = 0; \tag 7$

para tal $c$ ,

$f(c) - c = g(c) = 0, \tag 8$

es decir,

$f(c) = c, \tag 9$

así que $c$ es un punto fijo de $f(x)$ .