La clasificación de escisiones de los números primos?

Question

Me preguntaba lo general, las estrategias están disponibles para averiguar si un primer divide? Sé que para cuadrática extensiones no hay muchas posibilidades de cómo un prime puede dividir, así que básicamente sólo se necesita comprobar que el $X^2-d$ tiene una raíz modulo $p$ y $p$ no dividir el discriminante. Este puede ser uno el uso de la reciprocidad cuadrática.

Por ejemplo, una extensión de $\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q}$ donde $\alpha^3-\alpha-1=0$ hay un par de opciones más. En este ejemplo en particular la informática, el discriminante es fácil y, en general, hay algoritmos para él. La cuestión es que para un primer $\mathfrak{P}\mid p$ ¿cómo podemos saber que $f(\mathfrak{P}/p)=1$? Hay alguna "simple" algoritmo que funciona para los polinomios $X^3+aX+b$$X^5+aX+b$?

EDIT: Por instrucciones de abajo estoy de edición de la pregunta. Yo estaba más interesado en la realidad, la clasificación y la búsqueda de la densidad del conjunto de los números primos con un particular de factorización. Dado un determinado prime, su factorización es mucho más fácil de encontrar. En el cuadrática caso esto se hace mediante el uso de la reciprocidad cuadrática como he descrito anteriormente. Lo que no sé es cómo trabajar con cúbicas. Me han dicho que esto puede ser hecho por cúbicas $X^3+aX+b$ y por la sencillez, estoy interesado en el caso de $X^3-X-1$. Al parecer, otro conjunto de "más fácil" ecuaciones es $X^5+aX+b$.

Answer 1

Para una extensión de $\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q}$ donde $\alpha$ tiene un mínimo de polinomio $P$, con lo cual podemos asumir que tiene todos sus coeficientes en $\mathbb{Z}$, para cada prime $p$ que no divide el discriminante de $P$, hay un $\mathfrak{P}$ sobre $p$ $f(\mathfrak{P}/p)=1$ fib $P \mod p$ tiene una raíz en $\mathbb{F}_p$ (que por Hensel del lexema puede ser elevada a una raíz de $P$$\mathbb{Z}_p$).

Pero tenga en cuenta que $p$ puede dividir incluso si no hay una raíz: una versión general de Hensel del lema nos dice que la factorización de $P \mod p$ en irreductible (y coprime, ya $p$ no dividir el discriminante) puede ser elevada a una factorización de $P$ (esto le da a los factores de $P$ como un elemento de $\mathbb{Q}_p[X]$). Cada factor corresponde a un lugar $\mathfrak{P}$ sobre $p$, e $f(\mathfrak{P}/p)$ es igual al grado del factor. Sin embargo, en grado $\leq 3$, un polinomio es irreducible si no tiene raíz.

Tenga en cuenta que no se dice nada acerca de los números primos dividiendo el discriminante. Pueden ser unramified o no. Es un poco más difícil (pero no es un algoritmo) para calcular la descomposición en este caso.

EDIT: por supuesto, todo lo que sigue siendo cierto si tomamos un número arbitrario de campo en lugar de $\mathbb{Q}$

Answer 2

Para un determinado prime $p$, la estructura de la factorización en primos de $p$ el (anillo de enteros de los) campo de $\mathbb{Q}(\alpha)$ espejos de la factorización de la generación de polinomio (por ejemplo, $X^3-X-1$) sobre el campo finito $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Esta factorización puede ser determinado mediante algoritmos con bastante facilidad.

Si, sin embargo, su tarea es determinar el conjunto de números primos que se separó, entonces este es esencialmente un mayor ley de la reciprocidad y se hace muy difícil cuando el grupo de Galois no es Abelian. No estoy seguro de lo que el algoritmo general es, o incluso si es que hay uno.