Demuestra que $\Bbb Z \times \Bbb Z$ tiene un ideal $\Bbb Z \times \{0\}$ y determinar los elementos de $(\Bbb Z \times \Bbb Z) / (\Bbb Z \times \{0\})$ .

Question

Demuestra que $\Bbb Z \times \Bbb Z$ tiene un ideal $\Bbb Z \times \{0\}$ y determinar los elementos de $(\Bbb Z \times \Bbb Z) / (\Bbb Z \times \{0\})$ .

En primer lugar, el grupo $(\Bbb Z \times \{0\}, +)$ es un subgrupo de $(\Bbb Z \times \Bbb Z, +)$ ya que para $a,b \in \Bbb Z \times \{0\}$ tenemos que $a+b = (x,0)+(y,0) =(x+y,0) \in \Bbb Z \times \{0\}.$ También la identidad de $\Bbb Z \times \Bbb Z$ está en $\Bbb Z \times \{0\}$ como $(0,0) \in \Bbb Z \times \{0\}$ . Para cada $a \in \Bbb Z \times \{0\}$ tenemos que $-a \in \Bbb Z \times \{0\}$ para lo cual $a+(-a)=(0,0).$

Para $a \in \Bbb Z \times \Bbb Z$ y $b \in \Bbb Z \times \{0\}$ los productos $$ab =(x,y)(z,0)=(xz,0) \in \Bbb Z \times \{0\} \\ ba =(z,0)(x,y)=(zx,0) \in \Bbb Z \times \{0\}$$ que hace que $\Bbb Z \times \{0\}$ un ideal de $\Bbb Z \times \Bbb Z$ .

Ahora los elementos de $(\Bbb Z \times \Bbb Z) / (\Bbb Z \times \{0\})$ son de la forma $a+\Bbb Z \times \{0\}$ para $a \in \Bbb Z \times \Bbb Z$ . Y $$a+\Bbb Z \times \{0\}=\{(x,y)+(z,0) \mid (z,0) \in \Bbb Z \times \{0\} \}$$ pero $$(x,y)+(z,0) =(x+z,y)$$ por lo que los elementos de $(\Bbb Z \times \Bbb Z) / (\Bbb Z \times \{0\})$ sólo los elementos $(x,y) \in \Bbb Z \times \Bbb Z$ ?

Answer 1

Su prueba de que es un ideal de $R:= \Bbb Z \times \Bbb Z$ tiene razón. Pero, no es correcto decir que el anillo cociente es en realidad $ \Bbb Z \times \Bbb Z$ . Lo que ha ocurrido es que ha cambiado la noción de igualdad en el anillo, con una clase de equivalencia, $a+I$ ( $I :=\Bbb Z \times \{0\}$ ), de elementos que sustituyen a varios elementos, $a+r$ , $r\in I$ en el anillo original $\Bbb Z \times \Bbb Z$ .

Answer 2

Dos elementos $(a,b)$ y $(c,de)$ pertenecen a la misma clase de equivalencia si $(c,d)=(a,b)+(z,0)$ para algunos $z$ . Así $c=a+z$ y $d=b$ y por tanto cada clase de equivalencia es de la forma $(0,y) + \Bbb Z \times\{0\}$ .