Pregunta acerca de la Homología Singular sección en Hatcher

Question

De Hatcher, "Topología Algebraica," Capítulo 2, "Homología Singular" de la sección (p. 108-109 en mi copia):

Los ciclos en la homología singular se definen de manera algebraica, pero se les puede dar un poco más interpretación geométrica en términos de mapas de finito $\Delta$-complejos. Para ver esto, observe que un singular $n$-de la cadena de $\xi$ puede ser escrita en la forma$\sum_i \varepsilon_i \sigma_i$$\varepsilon_i = \pm 1$, lo que permite repeticiones de la singular $n$-simplices $\sigma_i$. Dada la $n$-de la cadena de $\xi = \sum_i \varepsilon_i \sigma_i$, cuando calculamos el $\partial \xi$ como una suma de singular $(n-1)$-simplices con signos $\pm 1$, pueden ser algunos de cancelación de pares que consta de dos idénticos singular $(n-1)$-simplices con signos opuestos. La elección de un máximo de colección de la cancelación de los pares, la construcción de un $n$-dimensional $\Delta$ complejas $K_\xi$ a partir de un discontinuo de la unión de $n$-simplices, uno para cada una de las $\sigma_i$, mediante la identificación de los pares de $(n-1)$dimensiones de las caras correspondientes a la cancelación de los pares. El $\sigma_i$'s, entonces inducir un mapa de $K_\xi \rightarrow X$. Si $\xi$ es un ciclo, todos los $(n-1)$ simplices de $K_\xi$ provienen de la cancelación de pares, por lo tanto, son caras de exactamente dos $n$-simplices de $K_\xi$. Por lo tanto $K_\xi$ es un colector, localmente homeomórficos a $\mathbb{R}^n$, excepto en un subcomplejo de la dimensión en la mayoría de las $n - 2$.

Esta última poco que me tiene confundido, tal vez porque yo soy incapaz de visualizar un trivial 3-colector. Estamos construyendo un $\Delta$-complejo mediante la identificación de las $(n-1)$-caras de simplices; sólo hay un número finito de estos simplices; no estamos obligados a identificar las caras de alguna manera fuera de lo común; y así sucesivamente. ¿Cómo, entonces, podemos terminar con algo que es no un colector? Agradecería un ejemplo claro.

Me han dicho que este es un ejemplo general de un "pseudomanifold," pero todos los ejemplos de pseudomanifolds que he sido capaz de localizar y seguir viento en un no-variedad esencialmente por la identificación de vértices a quedar apretados espacios. Esto no puede suceder en virtud de la presente construcción porque siempre estamos a la identificación de la mayor correcto caras. Así que estoy muy confundido por la situación.

EDIT: Parece que hay algunas más preguntas planteadas en las observaciones en cuanto a lo que la construcción de la realidad significa. Si hay un nombre para esta construcción, o de cualquier otra fuente que describe, me gustaría apreciar una referencia. Y, por supuesto, si alguien puede arrojar alguna luz adicional sobre el tema que sería muy bienvenida.

EDITAR: puede que involuntariamente han sobrescrito alguien edición de justo entonces, a juzgar por un mensaje que apareció. Disculpas si es así. (¿Cómo puedo decirle a / arreglar esto?)

Answer 1

En primer lugar, una observación que creo que es relevante: la comprensión de la construcción de la $K_{\xi}$ está relacionado con la cuestión de si una homología de la clase puede ser representado por un submanifold. Esto no es siempre posible; ver, por ejemplo, este MO respuesta.

Por otro lado, siempre es posible para $n$-ciclos para valores pequeños de a $n$ (si estamos considerando la homología de un colector), que puede ser una razón por la que es difícil visualizar la no-colector de ejemplos de $K_{\xi}$.

E. g. en el caso de $n = 2$, somos el encolado de triángulos a lo largo de sus bordes, con la regla de que exactamente dos triángulos se encuentran a lo largo de una arista común. Esto siempre da un cerrado $2$-colector. En general, salvo que estoy confundido, el hecho de que para $n = 2$ siempre obtenemos un colector implica en general que la no-colector de puntos en codimension al menos $n - 3$ (no sólo de $n - 2$). Así que para encontrar un contraejemplo debemos tomar $n = 3$. Voy a dar un contraejemplo en un momento, pero primero permítanme describir un enfoque general para pensar acerca de esta situación.

Al pegar simplices como este, la forma de investigar si el objeto resultante es un colector o no, es considerar el enlace de cada vértice. Es decir, si un montón de $n$-simplices se juntan en un vértice $v$, tomar una transversal de la rebanada para cada simplex justo debajo del vértice (me estoy imaginando que el simplex está sentada en la cara opuesta a $v$, por lo que el $v$ es en la parte superior de la simplex), para obtener una $n-1$-simplex. Ahora estos pegamento juntos para hacer un cerrado simplicial $n-1$-complejo que rodea $v$; este es el enlace de $v$. Tenga en cuenta que estos $n-1$-simplices cumplir a lo largo de $n-2$dimensiones de las caras, por lo que el enlace es un $K_{\xi}$-tipo de objeto, sino de una dimensión menos.

En el caso de que $n = 2$, tenemos un montón de segmentos se unen en sus vértices, y por lo tanto un círculo. No hay drama.

Pero ahora suponga que el $n = 3$. A continuación, el enlace está formado por un grupo de triángulos pegando, y hemos acordado que esto le da un $2$-colector. Pero, ¿cuál?

Si $K_{\xi}$ es localmente Euclídeo en $v$, luego esta superficie habría que ser un $2$-esfera. Pero a priori no tiene que ser, y así, en este caso podemos obtener un no-colector de ejemplo!

En la práctica, para hacer un ejemplo que debe tener un cono en una superficie que no es un $2$-esfera, por ejemplo, un cono en un $2$-toro.

Precisamente: triangular $2$-toro, por ejemplo, mediante la elección de dos triángulos $\Delta_1$ $\Delta_2$ , y la identificación de los tres bordes de la primera con las tres aristas de la segunda, en la forma correspondiente.

Ahora para formar el cono en esto, reemplace $\Delta_i$ $3$- simplex $\tilde{\Delta_i}$. Respecto a $\Delta_i$ como uno de los rostros de $\tilde{\Delta}_i$, y la etiqueta de las otras tres caras de acuerdo a la orilla a lo largo de la cual se satisfacer $\Delta_i$. Ahora pegue las tres caras de $\tilde{\Delta}_1$ otros de $\Delta_1$ con las tres caras de $\tilde{\Delta}_2$ otros de $\Delta_2$ de acuerdo a la misma encolado esquema que hemos utilizado anteriormente para la construcción de la $2$-toro. Lo que conseguimos es una de tres dimensiones simplicial complejo cuyo límite es igual a $\Delta_1 + \Delta_2$, es decir, un $2$-toro. Pero no es una $3$-colector; más bien es un cono en el $2$-toro.

Si dejamos $\xi$ $3$- de la cadena de $\tilde{\Delta}_1 + \tilde{\Delta}_2$, a continuación, $K_{\xi}$ es el cono en el $2$-toro, y por lo tanto no es un $3$-colector.

Por supuesto, esto $\xi$ no es un ciclo (por lo que el límite de $K_{\xi}$ no está vacía), pero podríamos tomar dos conos y pegamento ellos a lo largo de su común $2$-toro límite para obtener una imagen tridimensional de simplicial complejo sin límite y, a continuación, tome $\xi$ a la suma de los cuatro $3$-simplices involucrados; a continuación, $\xi$ sería un ciclo, sino $K_{\xi}$ no sería un colector, que tiene dos vértices cuyos vínculos $2$-tori en lugar de $2$-esferas.

La conclusión de la observación: En la dimensión $2$, la única manera de conseguir pseudo-variedades que no son colectores es explícitamente unir los vértices, como se observó. Pero en la dimensión $3$ o más, hay otros ejemplos, por ejemplo, en la dimensión $3$ podemos tomar conos en positivo género superficies, como en la anterior construcción.

Answer 2

Edit: El ejemplo de abajo no dar un ciclo, por lo que no es realmente lo que estamos buscando aquí.

Post Original: El ejemplo más sencillo de lo que usted está buscando es el tonto de la tapa.

Es un compacto de 2 dimensiones complejas, y contráctiles, por lo que definitivamente no es un colector de w/o límite.