Instantones y Amplitudes No Perturbativas en Gravedad

Question

En QFT perturbativa en espaciotiempo plano la expansión perturbativa típicamente no converge, y las estimaciones del comportamiento de gran orden de las amplitudes perturbativas revelan ambigüedad de la expansión perturbativa del orden $\exp(-1/g^2)$ donde $g$ es el parámetro de expansión. Esta ambigüedad, a su vez, está relacionada con la existencia de soluciones clásicas asintóticamente euclidianas (instantones) que contribuyen a estas funciones de correlación y cuya contribución resuelve la ambigüedad en la expansión perturbativa y permite una terminación no perturbativa de la teoría.

Todo esto tan conocido es un preludio a mi pregunta sobre la gravedad. Ingenuamente, todas las afirmaciones sobre la expansión perturbativa siguen siendo válidas, al menos si se pueden resolver los problemas derivados de la no normalizabilidad de la teoría (en otras palabras, definir los términos individuales de la serie). Siendo optimistas, quizás para $N=8$ SUGRA eso debería ser posible. Esto trae a la mente la cuestión de la existencia de instantones, a saber:

¿Existen soluciones asintóticamente euclidianas no triviales en las teorías de la gravedad?

Ahora bien, hay objetos bien conocidos que se denominan "instantones gravitatorios", pero no son asintóticamente euclidianos. Más bien son asintóticamente localmente Euclidianos: asíntota a un cociente del espacio plano euclidiano. La diferencia significa que estos objetos no contribuyen realmente a las funciones de correlación (o, más concretamente, a los elementos de la matriz S) en el espaciotiempo plano. Mi pregunta es si los objetos que sí contribuyen existen en algunas teorías de la gravedad (quizá no convencionales).

Answer 1

La respuesta es sí en las dimensiones en las que existe un esfera exótica . Por lo tanto, la respuesta es sí en las dimensiones 7,8,9,10,11,13,14,15... (En 4 dimensiones la existencia de tal esfera exótica depende de la resolución de la conjetura suave de Poincare en 4 dimensiones .) La lógica de por qué esto es así es la siguiente...

Para cualquier instantón Yang-Mills euclidiano I siempre existe un "anti-instantón" -I tal que el instantón I cuando se separa "ampliamente" del anti-instantón -I produce un campo gauge I - I que es homotópico al campo gauge trivial A=0.

Como I - I es homotópico al campo gauge trivial A=0, hay que incluir I - I en las integrales de trayectoria. En tales integrales de trayectoria I puede estar centrado en x y -I puede estar centrado en y. Si x e y están muy distantes, entonces esto produce, por descomposición en racimos, el mismo resultado que un instantón aislado I en x. Esta es la razón por la que los instantones juegan un papel en las integrales de trayectoria.

Aplicando esta lógica a la gravedad se desea encontrar un instantón J y un anti-instantón -J tales que J - J sea difeomorfo a la variedad original. Si existe tal par, entonces J debe interpretarse como un instantón y -J como un anti-instantón.

El conjunto de esferas exóticas forma un grupo bajo suma conexa. Por lo tanto, para cualquier esfera exótica E existe una esfera exótica inversa -E tal que la suma conexa de E y -E es la esfera estándar.

Consideremos ahora una variedad M de dimensión n=7,8,9,10,11,13,14,15... Como M es de esta dimensión, existe una esfera exótica E de dimensión n y una esfera exótica inversa -E tal que la suma conexa de E y -E es la esfera estándar. Como la suma conexa de la esfera estándar y M es difeomorfa a M, estas esferas exóticas pueden interpretarse como instantones en n dimensiones vis-a-vis nuestro argumento anterior.

Esta lógica se presentó por primera vez en la sección III del artículo de Witten Anomalías gravitacionales globales .