Hallar el radio de convergencia de una serie de potencias.

Question

Consideremos la serie de potencias $$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$$ donde $a_0=0$ y $a_n=\frac{\sin(n!)}{n!}$ para $n1$

Sea $R$ sea el radio de convergencia, entonces

1. $R1$

2. $R2$

3. $R$

Mi intento: Utilicé la fórmula para

$$ \frac{1}{R}=\lim\frac{(a_{n+1})}{a_n}\\ =\lim\frac{\sin((n+1)!)}{(n+1)!}\frac{n!}{\sin(n!)}\\ =\lim\frac{\sin((n+1)!)}{(n+1)\sin(n!)} $$
ahora no puedo seguir adelante, he pensado mucho en evaluar el límite pero no lo consigo, así que cualquier pista o solución será de gran ayuda,

Gracias de antemano

Answer 1

Una idea: para cualquier $\;x\in\Bbb R\;$

$$\left|\frac{\sin n!}{n!}x^n\right|\le\frac{|x|^n}{n!}$$

y aplicar ahora la prueba M de Weierstrass.

Answer 2

Prueba de la raíz

$\frac{1}{R}$ = lim $|\frac{sin(n!)}{(n!)}|^\frac{1}{n}$

$≤$ lim $(\frac{1}{(n!)})^\frac{1}{n}$ = $0$ como $0<(\frac{1}{(n!)})<1$

que da, $R$ = ∞. Dime ¿Es correcto o incorrecto??