Demostrar una desigualdad geométrica, si 3 números satisfacen la condición

Question

Acabo de tener este problema, pero no tengo ni idea de cómo probarlo.

Demostrar que si $x,y,z\in\mathbb{R},\ x,y,z\ge 0$ y $2\cdot(x\cdot z+x\cdot y+y\cdot z)+3\cdot x\cdot y\cdot z = 9$ entonces $(\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z )^4 \ge 72$ . Se trata de una desigualdad geométrica.

¿Puede alguien ayudarme, por favor? Cualquier tipo de ayuda (soluciones, consejos, etc.) es muy apreciada. Gracias.

NOTA: REALMENTE NO SE QUE TITULO DEBERIA ESCRIBIR PARA ESTE POST, ASI QUE POR FAVOR DEJA UN COMENTARIO SI TIENES UNA IDEA PARA EL TITULO DEL POST. GRACIAS.

Answer 1

Aquí hay un intento (creo que en la buena dirección, por lo tanto una pista, como usted lo desea) para resolver el problema, poniéndolo en una forma más manejable con los polinomios simétricos elementales en 3 variables, gracias a un cambio de variables.

Una vez más, dejémoslo claro: no es una solución (¡pero sigo trabajando en ello!).

Escribamos la condición y la restricción objetivo para que el texto sea autocontenido:

$$2(xz+xy+yz)+3xyz=9 \ \ \ (1)$$

y

$$(\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z )^4 \ge 72 \ \ \ (2)$$

o considerando la potencia 4 como dos cuadrados sucesivos:

$$(x+y+z+2(\sqrt{yz}+\sqrt{zx}+\sqrt{xy}))^2 \geq 72$$

Hagamos el cambio de variables :

$$a=\sqrt{yz}, \ \ b=\sqrt{xz}, \ \ c=\sqrt{xy} \ \ (3)$$

siendo las fórmulas recíprocas (debido a la supuesta estricto positividad de $x,y,z$ ):

$$x=\dfrac{bc}{a}, y=\dfrac{ca}{b}, z=\dfrac{ab}{c} \ \ \ (4) $$

La fórmula (1) se convierte en

$$2(a^2+b^2+c^2)+3abc=9 \ \ \ (1')$$

o

$$2(a+b+c)^2-4(ab+bc+ca)+3abc=9 \ \ \ (1'')$$

y la restricción a establecer pasa a ser:

$$((x+y+z)+2(a+b+c))^2 \geq 72 \ \ \ (2')$$

Pero, utilizando (4),

$$x+y+z=\dfrac{(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2}{abc}=\dfrac{(bc+ca+ab)^2-2abc(a+b+c)}{abc} \ \ \ (5)$$

Introduciendo (5) en (3'), se obtiene, para establecer la restricción:

$$\left(\dfrac{(bc+ca+ab)^2}{abc}\right)^2 \geq 72 \ \ \ (2'')$$

Por lo tanto, fijar

$$\begin{cases}s_1&=&a+b+c\\s_2&=&ab+ac+bc\\s_3&=&abc\\\end{cases}$$

Así, el problema simplificado es el siguiente :

Demuestre que, bajo la condición (1'')

$$2s_1^2-4s_2+3s_3=9$$

(y sabiendo que todas estas cantidades son positivas) debemos tener (2''), es decir,

$$s_2^4 \leq 72 s_3^2$$

Aquí estoy un poco atascado... Newton identidades ( https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_identities ) ¿podría ser de ayuda?

Answer 2

Tenemos que demostrar que $x+y+z\geq\sqrt[4]{72}$ donde $x$ , $y$ y $z$ son no negativos tales que $$\sum\limits_{cyc}(2x^2y^2+x^2y^2z^2)=9$$ Sea $x+y+z<\sqrt[4]{72}$ , $x=ka$ , $y=kb$ y $z=kc$ tal que $k>0$ y $a+b+c=\sqrt[4]{72}$ .

Por lo tanto, $k<1$ y $9=\sum\limits_{cyc}(2x^2y^2+x^2y^2z^2)=k^4\sum\limits_{cyc}(2a^2b^2+k^2a^2b^2c^2)<$

$<\sum\limits_{cyc}(2a^2b^2+a^2b^2c^2)$ lo cual es una contradicción porque ahora demostraremos que $$\sum\limits_{cyc}(2a^2b^2+a^2b^2c^2)\leq9$$ De hecho, tenemos que demostrar que $$9\left(\frac{a+b+c}{\sqrt[4]{72}}\right)^6\geq2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)\left(\frac{a+b+c}{\sqrt[4]{72}}\right)^2+3a^2b^2c^2$$ o $$(a+b+c)^6\geq16(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)(a+b+c)^2+144\sqrt2a^2b^2c^2$$ Puesto que por AM-GM

$(a+b+c)^4=(a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc))^2\geq$

$\geq\left(2\sqrt{2(a^2+b^2+c^2)(ab+ac+bc)}\right)^2=8(a^2+b^2+c^2)(ab+ac+bc)$ ,

queda por demostrar que $$(a+b+c)^2(a^2+b^2+c^2)(ab+ac+bc)\geq2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)(a+b+c)^2+18\sqrt2a^2b^2c^2$$ o $$(a+b+c)^2((a^2+b^2+c^2)(ab+ac+bc)-2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2))\geq18\sqrt2a^2b^2c^2$$ o $$(a+b+c)^2\sum\limits_{cyc}(a^3b+a^3c-2a^2b^2+a^2bc)\geq18\sqrt2a^2b^2c^2$$ o $$(a+b+c)^2\sum\limits_{cyc}(ab(a-b)^2+a^2bc)\geq18\sqrt2a^2b^2c^2$$

Por lo tanto, queda por demostrar que $(a+b+c)^3\geq18\sqrt2abc$ que es AM-GM:

$(a+b+c)^3\geq27abc\geq18\sqrt2abc$ . ¡Hecho!