He oído de varios físicos que el giro topológico Kapustin-Witten de $N=4$ teoría de Yang-Mills de 4 dimensiones ("el giro geométrico de Langlands") no se espera que dé dé lugar a una teoría de campos topológicos completamente definida en el sentido de que, por ejemplo, no se espera que exista su función de partición en una 4-manifold (sin límite) (pero, por ejemplo, su categoría de condiciones de contorno unida a una superficie de Riemann). ¿Es esto realmente cierto? En caso afirmativo, ¿cuál es el argumento físico para ello (puede verse de algún modo a partir de la integral de trayectoria)? ¿Qué la diferencia de el giro de Vafa-Witten, que conduce a la teoría de Donaldson y su función de partición está, según tengo entendido, bien definida en la mayoría de los 4-manifolds?
Respuestas
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En un TQFT "plenamente definido" los espacios de estados son necesariamente de dimensión finita. Esto se deduce sencillamente del hecho de que los correladores asignados al cobordismo de tapón y de copa (las "funciones de 2 puntos") dotan al espacio de estados de la estructura de un dualizable objeto en la correspondiente categoría monoidal de espacios vectoriales, que son precisamente los objetos de dimensión finita.
Del mismo modo, en un TQFT n-dimensional extendida (una "totalmente local") el " n-espacio de estados" asignado al punto es un objeto totalmente dualizable .
Pero hay TQFTs con espacios de estados no finitos, y TQFTs extendidos con espacios de estados no totalmente dualizables. $n$ -espacio de estados. En el caso de d=2, éstos se conocen (de forma algo engañosa) como TCFTs . Ejemplos famosos son el Modelo A y el Modelo B . Y el Kapustin-Witten 4d TQFT se reduce a éstas en determinadas compactificaciones (véase, por ejemplo Evaluación de Kapustin páginas 17-18).
¿Cómo puede ser? La respuesta es que un "TCFT" es un TQFT que, como representación del cobordismo se define sólo en la subcategoría de cobordismos llamados "no compactos" o "con frontera positiva". A grandes rasgos, se trata simplemente de la subcategoría que se obtiene descartando el cobordismo de copa (o de tapón). Esto elimina del TQFT el requisito de tener espacios de estados dualizables, pero por lo demás conserva toda la estructura de un TQFT.
Para un TQFT extendido de este tipo (uno "totalmente local") los 2-espacios de estado (los asignados al punto) todavía tienen mucha estructura agradable, incluso sin ser totalmente dualizable. Se dice que son Objetos Calabi-Yau .
Un análisis detallado de todo ello se encuentra en sección 4.2 de Lurie Clasificación de los TFT
Desde el punto de vista de la integral de trayectoria, se puede argumentar por qué la función de partición de la teoría KW no estará bien definida como sigue.
En el punto del modelo B, la teoría KW se reduce dimensionalmente al modelo B para la pila derivada $Loc_G(\Sigma')$ de $G$ -sistemas locales en $\Sigma'$ . El modelo B para cualquier objetivo $X$ se espera que venga dado por el volumen de una forma de volumen natural en el espacio cartográfico derivado de la pila de Rham de la curva de origen $\Sigma$ a $X$ .
Uniendo todo esto, vemos que la función de partición KW en una superficie compleja $S$ se supone que es el "volumen" de la pila derivada $Loc_G(S)$ (con respecto a una forma de volumen que resulta de integrar los modos masivos).
Ahora vemos el problema: la pila derivada $Loc_G(S)$ tiene complejo tangente en a a $G$ -sistema local $P$ dada por la cohomología de Rham de $S$ con coeficientes en el sistema local adjunto de álgebras de Lie, con un desplazamiento de uno. Esto es en grados cohomológicos $-1,0,1,2,3$ .
En otras palabras: los campos de la teoría incluyen cosas como $H^3(S, \mathfrak{g}_P)$ en grado cohomológico $2$ . Porque está en grado cohomológico $2$ , podemos pensar que es un campo par -- y entonces es alguna dirección no compacta, de modo que no esperaríamos que converja ningún tipo de integral.
(Por cierto, hablo de esta interpretación de la teoría KW en mi artículo http://www.math.northwestern.edu/~costello/sullivan.pdf )
Yo pensaría que la teoría de Donaldson tampoco es una TFT 4d estrictamente hablando -- después de todo, hay algunos 4manifolds para los que tiene dependencia métrica. ¿No es eso suficiente para violar la letra de la ley?
En ese caso se suele decir que la razón del fallo es la falta de compacidad en el espacio de campo (esta afirmación se encuentra, por ejemplo, al final de la página 5 de hep-th/9709193 ). Supongo que un problema similar podría afectar a la torsión Kapustin-Witten de N=4 super Yang-Mills.
