Aquí es una familia de soluciones:
$$
m_0=-1,m_1=5,m_{k+2}=38m_{k+1}-m_k \\
c_0=1,c_1=1,c_{k+2}=38c_{k+1}-c_k \\
a_k = 4m_k+c_k+\frac{2(m_k^2+1)}{c_k} \\
b_k = a_km_k-m_k^2-1 \\
n_k = a_k^2+b_k^2
$$
Así, por ejemplo,
$$
n_1=120250=(68^2+1)(5^2+1)=(57^2+1)(6^2+1)=(43^2+1)(8^2+1)\\
n_3=505723158638933050=(98048^2+1)(7253^2+1)=(82137^2+1)(8658^2+1)=(62011^2+1)(11468^2+1)
$$
Para llegar a esto empecé a observar que
$$
n = (x^2+1)(y^2+1)=(x+i)(x-i)(y+i)(y-yo)
$$
donde $i^2=-1$. Primero, a continuación, multiplicando $(x+i)(y+i)$
$$
n = (xy-1+(x+y)i)(xy-1-(x+y)i) = (xy-1)^2+(x+y)^2
$$
o primero multiplicando $(x+i)(y-i)$
$$
n = (xy+1+(y-x)i)(xy+1-(y-x)i) = (xy+1)^2+(y-x)^2
$$
por lo tanto, dejar $b=xy-1$ hemos
$$
n=b^2+a^2=(b+2)^2+(a-2m)^2
$$
y dado $b$, de manera que podamos escribir $n$ de esta forma podemos revertir el procedimiento para encontrar $x$$y$. Además, si podemos escribir
$$
n=b^2+a^2=(b+2)^2+(a-2m)^2=(b+4)^2+(a-2m_2)^2=(b+6)^2+(a-2m_3)^2
$$
luego tenemos al menos tres representaciones de emparejamiento $b,b+2,b+4$ $b+2,b+4,b+6$ respectivamente.
$$
b^2+a^2=(b+2)^2+(a-2m)^2 \implica b=am-m^2-1 \\
b^2+a^2=(b+4)^2+(a-2m_2)^2 \implica 2b=am_2-m_2^2-4 \\
b^2+a^2=(b+6)^2+(a-2m_3)^2 \implica 3b=am_3-m_3^2-9
$$
la combinación de los dos primeros da
$$
un(m_2-2m)=m_2^2-2m^2+2
$$
Dejando $m_2=2m+1$ inmediatamente da a la familia de los números con las dos representaciones.
Más generalmente deje $m_2=2m+c$, luego
$$
ac = (2m+c)^2-2m^2+2 \\
a = c+4m+\frac{2m^2+2}{c}
$$
La combinación de las expresiones para $b$ $3b$ anterior obtenemos
$$
m_3^2-am_3+6-3m^2+3ma=0
$$
Para $m_3$ a ser un número entero debemos tener el discriminante ser el cuadrado de un número entero
$$
d^2 = a^2 a 12 años(2+ma-m^2)
$$
A partir de aquí no creo que de una buena forma de proceder, por lo que el uso de la computadora de búsqueda para $(m,c)$ que dan enteros para $a$ $d$ me encontré con la primera de tres soluciones de $(m,c)=(5,1),(191,37),(7253,1405)$, y llegó a la recursividad dado en la parte superior más o menos por la inspección. Queda por mostrar que los sucesivos valores de $m_k,c_k$ siempre resultado en $a_k$ $d$ ser enteros, pero estoy seguro de que este es un sencillo ejercicio en la inducción y dejar que el lector interesado.
