Sí, un producto cartesiano de lagrangianos es un lagrangiano (en el producto cartesiano de las variedades simplécticas).
Sea $(M_1, \omega_1), \, \dots, \, (M_n, \omega_n)$ sean variedades simplécticas y para $i=1, \dots, n$ deje $L_i \subset (M_i, \omega_i)$ sea un submanifold lagrangiano. Para los productos cartesianos $M = M_1 \times \dots \times M_n$ y $L = L_1 \times \dots \times L_n$ Por supuesto. $L$ es canónicamente un submanifold de $M$ . Denotemos por $\pi_i : M \to M_i$ las proyecciones canónicas. Equipar $M$ con la siguiente forma simpléctica "producto": $\omega = \sum_{i=1}^n \, \pi_i^{\ast}\omega_i$ . Es decir, para cualquier $m \in M$ y cualquier $V, W \in T_mM$ tenemos $\omega_m(V, W) = \sum_{i=1}^n [(\pi_i^{\ast}\omega_i)_m(V, W)]$ .
$L$ es Lagrangiano para la forma simpléctica $\omega$ . En efecto $p \in L$ y que $X, Y \in T_pL$ . Entonces, para cada $i=1, \dots, n$ tenemos $(\pi_i^{\ast}\omega_i)_p(X, Y) = (\omega_i)_{\pi_i(p)}((\pi_i)_{\ast}X, (\pi_i)_{\ast}Y) = 0$ . Esta última igualdad se deduce de la observación de que los vectores $(\pi_i)_{\ast}X$ y $(\pi_i)_{\ast}Y$ pertenecen a $T_{\pi_i(p)}L_i$ (que es un espacio vectorial lagrangiano por suposición); Esto se ve fácilmente una vez que se ha elegido una base para cada $T_{\pi_i(p)}L_i$ ya que estas bases se elevan para formar una base de $T_pL \cong \oplus_{i=1}^n T_{\pi_i(p)}L_i$ . Por lo tanto, $\omega_p(X,Y) = 0$ . Dado que esto es cierto para cualquier elección de $p, X, Y$ se deduce que $L$ es efectivamente lagrangiano.
