¿Satisface esta función la condición de Lipschitz?

Question

¿La función $F(x,y) = xy^1/3$ satisfacen la condición de Lipschitz en el rectángulo $ {(x,y) : |x| \le h, |y| \le k} $ donde $h < 0$ y $k < 0$ ?

He intentado utilizar el teorema del valor medio para demostrarlo:

|F(x, u) F(x, v)| = | $F_y (x, w)$ (u v)| K|u v|

Sin embargo, descubrí que, $F_y (x, w) > A$ donde A es un número real. como cuando $y \to 0$ , $F_y (x, w) \to \infty$ . ¿Significa esto que no satisface la condición de Lipschitz?

Muchas gracias.

Answer 1

No, en cuanto a $x=\frac{h}{2}$ tienes $$f(x,y)=f(\frac{h}{2},y)=\frac{h}{2}y^{\frac{1}{3}}$$ y $$\lim\limits_{y \to 0} \frac{\frac{h}{2}y^{\frac{1}{3}}}{y} = +\infty$$