¿Cuál es el número máximo posible de soluciones de la ecuación $ f (z) = az + b$ como $a $ y $b$ varían con los números complejos?

Question

Supongamos que $f : \mathbb{C} \to\mathbb{ C} $ es una función holomorfa tal que la parte real de $f''(z)$ es estrictamente positivo para todo $ z \in \mathbb{C}$ . ¿Cuál es el número máximo posible de soluciones de la ecuación $ f (z) = az + b$ como $a $ y $b$ varían en números complejos?

Lo he intentado muchas veces pero sigo confundido.

Answer 1

La parte que puede que te estés perdiendo es que si $f$ está completo, entonces $f''$ también está entero. Te dicen que tiene parte real positiva, pero las únicas funciones enteras con parte real positiva son las constantes.

Así que $f''(z)=c$ para todos $z$ para un $c \in \mathbb{C}$ . Por lo tanto $f'(z)$ es... y por lo tanto $f(z)$ en sí es...

EDIT: a petición popular, procedamos. Desde $f''$ es constante, $f'$ es lineal y $f(z)=Az^2+Bz+C$ es un polinomio de grado $2$ ( $A$ debe ser positivo, por lo que el grado no es inferior). La ecuación $f(z)=az+b$ tiene por tanto exactamente dos soluciones, contadas con multiplicidad. También se puede decir que tiene como máximo dos soluciones.

De hecho, puede tomar $f(z)=z^2$ (que tiene $f''(z)=2$ cumpliendo el requisito de parte real positiva), y $a=0$ , $b=1$ . La ecuación es ahora $z^2=1$ que tiene exactamente dos soluciones distintas.