La solución de $\Delta u=u^3$ con valores límite cero es idénticamente cero

Question

Mi pregunta:

Mi intento:

He intentado utilizar la Representación mediante la fórmula de Green: Desde $u=0$ en la frontera y $f(x)=x^3$ entonces la fórmula se convierte en:

$$u(x)=\int_\Omega y^3G(x,y)dy \quad (x\in\Omega)$$

Entonces me quedé atascado, ¿cómo proceder para obtener $u=0$ ?

¿Alguien puede darme alguna pista o respuesta?

Answer 1

Identidad de Green dice que $$\int_{\Omega}u\Delta u+\int_\Omega |\nabla u|^2=\int_{\partial\Omega} u(\nabla u\cdot n).$$ Desde $u=0$ en $\partial\Omega$ por suposición, el lado derecho es cero. Por otro lado, $\Delta u=u^3$ en $\Omega$ por suposición, el lado izquierdo es igual a $$\int_{\Omega}u^4+\int_\Omega |\nabla u|^2.$$ Combinando todo esto, tenemos $$\int_{\Omega}u^4+\int_\Omega |\nabla u|^2=0$$ lo que implica que $u\equiv 0$ .