Representación irreducible fiel de un grupo monolítico

Question

Tengo una pregunta sobre la teoría de la representación.

Sea $G$ sea un grupo finito con un único subgrupo mínimo normal, y sea $\mathbb{F}$ sea un campo tal que su característica sea coprima a $|G|$ . Necesito probar que $G$ admite una representación irreducible fiel. La irreducibilidad es una consecuencia del Teorema de Maschke, pero ¿cómo podría demostrar la fidelidad?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Consideremos una representación regular de $G$ es decir $G$ actúa a la izquierda sobre el grupo $\mathbb{F}$ -álgebra $F[\mathbb{G}]$ . Se trata de una representación dimensional finita fiel. Por lo tanto, la clase de representaciones fieles de dimensión finita de $G$ no es vacío. Elijamos ahora una representación fiel y de dimensión finita $\rho:G\rightarrow \mathrm{GL}(V)$ . Descomponer $V$ como suma directa de representaciones irreducibles

$$V = V_1\oplus V_2\oplus ...\oplus V_k$$

de $G$ (esto requiere $|G|$ coprimo a la característica de $\mathbb{F}$ ). Para cada $i=1,2,...,k$ considere $N_i\subseteq G$ el conjunto de $g\in G$ tal que $\rho(g)$ actúa trivialmente sobre $V_i$ . Entonces $N_i$ es un subgrupo normal de $G$ (es un núcleo de la representación inducida $\rho_{\mid V_i}$ ). Además, puesto que $\rho$ es fiel, deducimos que $$\bigcap_{i=1}^kN_i = \{1\}$$ Sea $N$ sea un subgrupo normal no trivial mínimo (con respecto a la inclusión) de $G$ . Si cada $N_i$ no es trivial, entonces $N\subseteq N_i$ y por lo tanto $$N\subseteq \bigcap_{i=1}^kN_i$$ Esto es una contradicción y por lo tanto existe $i_0\in \{1,2,...,k\}$ tal que $N_{i_0}= \{1\}$ . Por lo tanto, $\rho_{\mid V_{i_0}}$ es irreductible y fiel.