Computa: $\lim_{n \to \infty } \left ( 1-\frac{2}{3} \right ) ^{\frac{3}{n}}\cdots \left ( 1-\frac{2}{n+2} \right ) ^{\frac{n+2}{n}}$

Question

Ayúdame por favor a calcular el límite de:

$ \lim_{n \to \infty } \left ( 1-\frac{2}{3} \right ) ^{\frac{3}{n}}\cdot \left ( 1-\frac{2}{4} \right ) ^{\frac{4}{n}}\cdot \left ( 1-\frac{2}{5} \right ) ^{\frac{5}{n}}\cdots \left ( 1-\frac{2}{n+2} \right ) ^{\frac{n+2}{n}} $

Lo que hice:

$ L=\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{ \left ( 1-\frac{2}{n+3} \right ) ^{\frac{n+3}{n+1}}}{ \left ( 1-\frac{2}{n+2} \right ) ^{\frac{n+2}{n}}}=\frac{2/e}{2/e}=1 $

Pero no lo es. Desde $L=1$ Necesito usar otra cosa...

Answer 1

$(1-2/k)^k$ se acerca a $e^{-2}$ por lo que la mayoría de los factores están cerca $e^{-2}$ .
Entonces usted toma el $n$ raíz de todos ellos, y hay $n$ factores, por lo que la respuesta es $e^{-2}$

Answer 2

Sea $$f_n = \left ( 1-\dfrac{2}{3} \right ) ^{\dfrac{3}{n}}\cdot \left ( 1-\dfrac{2}{4} \right ) ^{\dfrac{4}{n}}\cdot \left ( 1-\dfrac{2}{5} \right ) ^{\dfrac{5}{n}}\cdot \cdot \cdot \left ( 1-\dfrac{2}{n+2} \right ) ^{\dfrac{n+2}{n}} $$ Tenemos $$\ln(f_n) = \sum_{k=1}^n \dfrac{k+2}{n}\ln\left(1-\dfrac2{k+2}\right)$$ Por lo tanto, \begin{align} n \ln(f_n) & = \sum_{k=1}^n (k+2)\left(\ln(k)-\ln(k+2)\right)=\sum_{k=1}^n (k+2)\ln(k) - \sum_{k=1}^n(k+2)\ln(k+2)\\ & = \sum_{k=1}^n (k+2)\ln(k) - \sum_{k=3}^{n+2}k\ln(k)\\ & = 3\ln(1) + 4\ln(2) + \sum_{k=3}^n (k+2) \ln(k) - \sum_{k=3}^n k \ln(k) - (n+1)\ln(n+1) - (n+2)\ln(n+2)\\ & = 2 \ln(2) + 2 \sum_{k=2}^n \ln(k) - (n+1)\ln(n+1) - (n+2)\ln(n+2)\\ & = 2 \ln(2) + 2 \ln(n!) - (n+1)\ln(n+1) - (n+2)\ln(n+2)\\ & = 2 \ln(2) + \ln(2\pi n) + 2n \ln(n) - 2n - (n+1)\ln(n+1) - (n+2)\ln(n+2) + \mathcal{O}(1/n)\\ \ln(f_n) & = -2 + \mathcal{O}(\ln(n)/n) \end{align} Por lo tanto, $f_n \to e^{-2}$ .