Algunas preguntas sobre la clase y el plató.

Question

Los conceptos de clase adecuada y configure son bastante desconcertantes. He aquí algunas preguntas al respecto.

1. ¿Es posible que una colección de algo sea una clase propiamente dicha en un modelo/teoría pero un conjunto en otro?

2. En el página wiki de Modelo interior se dice que

   Si M es un modelo para S, y N es un $L$ -tal que

   1. $N$ es una subestructura de $M$ es decir, la interpretación $\in_N$ de $\in$ es $\in_M\bigcap N^2$

   2.N es un modelo para T

   3.el dominio de $N$ es un clase transitiva de $M$

   4. $N$ contiene todos los ordinales de $M$

   entonces decimos que $N$ es un modelo interno de $T$ (en $M$ ).

   ¿Por qué utiliza "clase transitiva" en lugar de "conjunto transitivo"? ¿Es posible que una clase transitiva de un modelo sea pequeño ¿suficiente para ser un conjunto?

3. Si $Z$ es una clase propia todos cuyos elementos son conjuntos transitivos, son $\bigcup Z$ y $Z\cup \bigcup Z$ ¿Ambos son necesariamente de la misma clase?

Answer 1

1. Sí. Por ejemplo, considere el modelo mínimo de ZFC (llámelo $X$ ). Por el teorema de Lowenheim-Skolem, $X$ es contable, lo que por sustitución implica que $X$ es un conjunto y no una clase propia. A continuación, intenta razonar sobre $X$ dentro de $X$ : de $X\vDash\textrm{ZFC}$ , $X$ satisface el teorema de ZFC de que todo conjunto tiene un rango, que es un ordinal específico asignado a todos los conjuntos como la suma de los sucesores de cada uno de los rangos de sus miembros. También se puede pensar en el rango como la etapa en la que un conjunto es un subconjunto de la jerarquía V. En concreto, el rango de cada ordinal es su propio sucesor. Pero trabajando en $X$ no podemos definir el rango de $X$ : $X$ satisface "para cualquier ordinal $\alpha$ el conjunto $\alpha+1$ tiene $\textrm{rank}(x)>\alpha$ ", por lo que $X$ cree que $X$ no tiene ordinal como rango. En otras palabras, si se trabaja en $X$ asumiéramos que " $X$ es un conjunto", contradeciríamos este resultado de regularidad, ya que $X\vDash``\textrm{rank}(x)\textrm{ is not defined}"$ . Así que de $X$ perspectiva, $X$ ¡no es un set! Lo mismo ocurre con otros conjuntos como $X\cap\textrm{Ord}$ .
2. No. A partir de un argumento similar al de #1, si tuviéramos un modelo interno $M\vDash\textrm{ZFC}$ que era de tamaño fijo, $\textrm{rank}(M)$ se definiría y sería un ordinal. Entonces $M$ no contendría el ordinal $\textrm{rank}(M)+1$ Así que $M$ no podría haber sido un modelo interior.
3. Para el resto de esta respuesta es un hecho útil que una superclase de una clase propia $Z$ es correcta, esto se debe a que la superclase contendrá todos los miembros de $Z$ incluidos los de rango arbitrariamente grande. Si $Z$ es una clase propia, $Z$ contiene miembros de rango ilimitadamente grande. Bajando "un nivel de $\in$ "para que $Z$ para tener estos miembros de alto rango, debemos tener que para cada $\alpha$ hay un $z\in Z$ tal que $z$ tiene un miembro de rango $>\alpha$ . Desde $\bigcup Z$ es la clase de todos los miembros de $z\in Z$ , $\bigcup Z$ tiene miembros de rango arbitrariamente grande y por lo tanto $\bigcup Z$ es correcto. $Z\cup\bigcup Z$ es mucho más fácil de mostrar propiamente ya que contiene todos los miembros de $Z$ .